Use a definição para calcular a derivada da função dada. Depois, determine os valores da derivada nos pontos especificados.
em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Depois, precisamos encontrar os valores dessa derivada em três pontos específicos:
,
e
. Para isso, vamos usar a definição básica de derivada e algumas regras de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Primeiro, vamos unir as frações do numerador:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Então, a derivada fica:
Quando
tende a 0, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora que temos a derivada
, vamos calcular os valores nos pontos específicos.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A derivada da função
é
. Os valores da derivada nos pontos especificados são: