Use a definição para calcular a derivada da função dada. Depois, determine os valores da derivada nos pontos especificados. h(x) = x / (x + 1) em x0 = -2, x0 = -1/4 e x0 = 1/3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Depois, precisamos encontrar os valores dessa derivada em três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar a definição básica de derivada e algumas regras de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Primeiro, vamos unir as frações do numerador:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Então, a derivada fica:
Quando tende a 0, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora que temos a derivada , vamos calcular os valores nos pontos específicos.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A derivada da função é . Os valores da derivada nos pontos especificados são:

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