A função
é derivável em
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos saber se ela é derivável em
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas e limites, que são conceitos básicos de cálculo.
Passo 2
Antes de tudo, vamos ver como a função se comporta. A função
dá:
-
quando (porque ) -
quando (porque )
Mas e quando
? Nesse caso, temos uma divisão por zero, o que não é definido. Portanto,
não está definido.
Passo 3
Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa primeiro estar definida nesse ponto. Já que
não está definido, a função não pode ser derivada em
.
Passo 4
Mesmo se tentássemos definir
de alguma forma, a derivada em
exigiria que os limites laterais da derivada fossem iguais. Vamos ver:
- O limite da derivada pela direita (
) seria , porque a função é constante igual a à direita de zero. - O limite da derivada pela esquerda (
) também seria , porque a função é constante igual a à esquerda de zero.
No entanto, como a função não está definida em
, não podemos realmente comparar esses limites para definir a derivada.
Passo 5
Além disso, mesmo que a função fosse definida em
, a natureza da função
cria uma descontinuidade em
, já que ela “salta” de
para
. Funções descontínuas não são deriváveis naquele ponto.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
.