A função f(x) = |x| / x é derivável em x = 0 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos saber se ela é derivável em . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas e limites, que são conceitos básicos de cálculo.

Passo 2

Antes de tudo, vamos ver como a função se comporta. A função dá:
  • quando (porque )
  • quando (porque )
Mas e quando ? Nesse caso, temos uma divisão por zero, o que não é definido. Portanto, não está definido.

Passo 3

Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa primeiro estar definida nesse ponto. Já que não está definido, a função não pode ser derivada em .

Passo 4

Mesmo se tentássemos definir de alguma forma, a derivada em exigiria que os limites laterais da derivada fossem iguais. Vamos ver:
  • O limite da derivada pela direita ( ) seria , porque a função é constante igual a à direita de zero.
  • O limite da derivada pela esquerda ( ) também seria , porque a função é constante igual a à esquerda de zero.
No entanto, como a função não está definida em , não podemos realmente comparar esses limites para definir a derivada.

Passo 5

Além disso, mesmo que a função fosse definida em , a natureza da função cria uma descontinuidade em , já que ela “salta” de para . Funções descontínuas não são deriváveis naquele ponto.

Resposta

Não, a função não é derivável em .

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