Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
an=n sin (1 / n)

Passo 1

O enunciado define a sequência an = n sinl(tfrac1nr) e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo aqui é cálculo de limites de sequência, usando a equivalência limxto0sin xx=1.

Passo 2

Observamos que, quando n to infty, vale 1/n to 0. Para aproveitar o limite conhecido, reescrevemos an da seguinte forma:
an = n sin!l(tfrac1nr) = sin!l(tfrac1nr)tfrac1n

Passo 3

Como sabemos que
limxto0sin xx=1,
basta tomar x=tfrac1n. Portanto,
limntoinftyan = limntoinftysin!l(tfrac1nr)tfrac1n =1

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=1.

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