Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada
F(t)=\left(2 \cos t,-\sin t, t^{2}\right) e F\left(\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
F(t)=\bigl(2\cos t,\; -\sin t,\; t^{2}\bigr)
e pede a equação da reta tangente à trajetória de F no ponto F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Informações que temos:
  • A função vetorial está dada componente a componente: a primeira componente é 2\cos t, a segunda é -\sin t e a terceira é t^{2}.
  • O ponto onde queremos a tangente corresponde a t_{0}=\dfrac{\pi}{3}.
  • A tarefa é encontrar a reta tangente à curva (trajetória) em t_{0} — isto é, obter uma equação da reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma direção instantânea da curva ali.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Uma função vetorial F(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) descreve uma curva no espaço. A reta tangente à curva em t=t_{0} passa pelo ponto F(t_{0}) e tem direção dada pelo vetor derivada F'(t_{0}).
  • A derivada F'(t) é obtida derivando cada componente separadamente: F'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).Isso é porque a derivada de um vetor é o vetor das derivadas (derivada é linear e se aplica componente a componente).
  • Relembrando derivadas básicas (úteis aqui):
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr) = -\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr) = \cos t.
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr) = 2t.
  • Depois de obter F'(t) em forma simbólica, avaliamos em t_{0}=\dfrac{\pi}{3} para ter o vetor direção da reta tangente.
  • A equação vetorial da reta tangente pode ser escrita como \ell(s)=F\bigl(t_{0}\bigr)+s\,F'\bigl(t_{0}\bigr),\qquad s\in\mathbb{R},onde s é o parâmetro ao longo da reta (não confundir com o parâmetro t da curva).
  • Também podemos escrever a reta em forma paramétrica por componentes ou, quando possível (nenhuma componente de direção for zero), em forma simétrica.

Passo 3

Calcular F'(t) derivando cada componente:
  • A primeira componente é x(t)=2\cos t. Aplicando a regra \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t e tratando a constante 2: x'(t)=2\cdot(-\sin t)=-2\sin t.
  • A segunda componente é y(t)=-\sin t. Aplicando a regra \dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t e lembrando do sinal: y'(t) = -\cos t.
  • A terceira componente é z(t)=t^{2}. Aplicando \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t: z'(t)=2t.
Portanto, em forma vetorial:
F'(t)=\bigl(-2\sin t,\; -\cos t,\; 2t\bigr).

Passo 4

Calcular o ponto F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr). Precisamos das funções trigonométricas em t=\dfrac{\pi}{3}:
  • \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{1}{2}.
  • \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora substituir nas componentes de F:
  • Primeira componente: 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
  • Segunda componente: -\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Terceira componente: \bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{2}=\dfrac{\pi^{2}}{9}.
Logo
F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\left(1,\; -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{\pi^{2}}{9}\right).

Passo 5

Avaliar F'(t) em t=\dfrac{\pi}{3} para obter o vetor direção da reta tangente:
Usando \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{1}{2}:
  • Primeira componente: -2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.
  • Segunda componente: -\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\dfrac{1}{2}.
  • Terceira componente: 2t em t=\dfrac{\pi}{3} 2\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}.
Portanto
F'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\left(-\sqrt{3},\; -\dfrac{1}{2},\; \dfrac{2\pi}{3}\right).
Esse é o vetor que dá a direção da reta tangente.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente. Usando a forma vetorial com parâmetro s\): \[\ell(s)=F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+s\,F'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\left(1,\; -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{\pi^{2}}{9}\right) +s\left(-\sqrt{3},\; -\dfrac{1}{2},\; \dfrac{2\pi}{3}\right).
Escrevendo em forma paramétrica por componentes (se preferir para calcular pontos da reta):
\begin{cases} x(s)=1 -\sqrt{3}\,s,\\[4pt] y(s)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{1}{2}\,s,\\[4pt] z(s)=\dfrac{\pi^{2}}{9} + \dfrac{2\pi}{3}\,s. \end{cases}
Também é possível escrever a forma simétrica (dividindo as diferenças pelas componentes de direção). Como nenhuma componente de (F’\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)] é zero, temos:
\frac{x-1}{-\sqrt{3}}=\frac{y+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}}=\frac{z-\tfrac{\pi^{2}}{9}}{\tfrac{2\pi}{3}}.
Observação prática: o parâmetro s é livre — mudar s apenas anda pela reta; se preferir, pode trocar s por -s para eliminar sinais negativos no vetor direção (vezes -1 o vetor direção ainda é direção válida).]

Resposta

\ell(s)=\left(1,\; -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{\pi^{2}}{9}\right) +s\left(-\sqrt{3},\; -\dfrac{1}{2},\; \dfrac{2\pi}{3}\right),\qquad s\in\mathbb{R}.
\text{Equivalente (parâtrica): } \begin{cases} x=1 -\sqrt{3}\,s,\\[4pt] y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{1}{2}\,s,\\[4pt] z=\dfrac{\pi^{2}}{9} + \dfrac{2\pi}{3}\,s, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.â]

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