Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
x y^{\prime}+(1+x) y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'(x)+(1+x)\,y(x)=e^{x}.
O que pede:
  • Achar a solução geral y(x).
  • Dar o maior(s) intervalo(s) I sobre os quais a solução geral está definida.
  • Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de y' é x. Logo x=0 é um ponto singular: não podemos dividir por x aí sem cuidado. Assim a resolução será feita em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Para poder aplicar o método padrão, assumimos x\neq0 e dividimos a equação por x. Isso coloca a equação na forma padrão de primeira ordem:
y'(x)+\left(1+\frac{1}{x}\right)y(x)=\frac{e^{x}}{x}.
Aqui identificamos:
  • p(x)=1+\dfrac{1}{x} (o coeficiente de y),
  • q(x)=\dfrac{e^{x}}{x} (o lado direito).
    Lembre-se: essa forma vale apenas quando x\neq0, portanto as soluções obtidas valerão em intervalos que não contenham 0.

Passo 3

Método do fator integrante (explicando didaticamente):
  • Para uma equação de forma y'+p(x)y=q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y(x):
(\mu(x)y(x))'=\mu(x)q(x).
Agora aplicamos isso com p(x)=1+\dfrac{1}{x}. Calculamos a integral:
\int p(x)\,dx=\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx=x+\ln|x|.
Logo
\mu(x)=\exp\!\bigl(x+\ln|x|\bigr)=e^{x}|x|.
Observação prática: em cada intervalo onde x>0 ou x<0 podemos tomar \mu(x)=x e^{x} (se x>0) ou \mu(x)=-x e^{x} (se x<0). Usar a expressão \mu(x)=x e^{x} funciona bem em x>0; para x<0 a diferença de sinal é absorvida na constante de integração final. Vou trabalhar com \mu(x)=x e^{x} entendendo que estamos em um intervalo sem trocar o sinal de x.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=x e^{x}:
x e^{x}y'(x)+e^{x}(1+x)y(x)=e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x e^{x}y(x))'. Verificação rápida:
(x e^{x}y)'\;=\;x e^{x}y'+(x e^{x})'y \;=\;x e^{x}y'+(e^{x}+x e^{x})y \;=\;x e^{x}y'+e^{x}(1+x)y.
Portanto obtemos a equação simples
\bigl(x e^{x}y(x)\bigr)'=e^{2x}.
Integramos ambos os lados em função de x:
x e^{x}y(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C,
onde C é constante de integração (constante que pode depender do intervalo escolhido: um C para x>0 e outro para x<0, se desejado). Isolando y(x):
y(x)=\frac{\tfrac{1}{2}e^{2x}+C}{x e^{x}}.
Simplificando:
y(x)=\frac{1}{2}\,\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x e^{x}}.
Essa é a solução geral válida para x\neq0. Repare que a primeira parcela é uma solução particular y_p(x)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{x}}{x} e a segunda parcela é a solução geral do homogêneo y_h(x)=\dfrac{C}{x e^{x}}.

Passo 5

Discussão do maior(s) intervalo(s) I:
  • Como a dedução dividiu por x, a solução geral não pode ser estendida de forma contínua e diferenciável passando por x=0 em geral. Portanto os maiores intervalos onde a forma geral vale continuamente são os intervalos conectados que não contêm 0, ou seja
I=(0,\infty)\quad\text{ou}\quad I=(-\infty,0).
Em cada um desses intervalos a expressão
y(x)=\frac{1}{2}\,\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x e^{x}}
com constante C apropriada descreve a família completa de soluções.
Observação extra (útil para a prova): existe uma escolha particular de C que permite um prolongamento contínuo até x=0. Se tomarmos C=-\tfrac{1}{2} então
y(x)=\frac{\tfrac{1}{2}e^{2x}-\tfrac{1}{2}}{x e^{x}}=\frac{1}{2}\,\frac{e^{2x}-1}{x e^{x}}.
Fazendo limite x\to0 usando expansão e^{2x}-1\sim 2x obtém-se \lim_{x\to0}y(x)=1. Isso é coerente com a equação no ponto x=0, pois substituindo x=0 na equação original resulta 1\cdot y(0)=e^{0}\Rightarrow y(0)=1. Contudo, mesmo com essa escolha a equação original não determina y'(0) (o termo x y'(0) some), portanto o problema em x=0 é singular e a extensão não está coberta pelo teorema de existência e unicidade padrão.

Passo 6

Termos transientes — interpretação e conclusão:
  • A solução geral foi escrita como soma de particular e homogênea:
y(x)=y_p(x)+y_h(x)=\frac{1}{2}\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x e^{x}}.
  • O termo homogêneo é y_h(x)=\dfrac{C}{x e^{x}}. Para x\to+\infty temos e^{x}\to\infty e x cresce lentamente, então
y_h(x)=\frac{C}{x e^{x}}\longrightarrow0\quad\text{quando }x\to+\infty.
Isso significa que y_h é um termo transiente no sentido usual (decai e desaparece para x grandes e positivos); ele representa a parte da solução que “morre” com o avanço de x. Já para x\to -\infty temos e^{x}\to0, de modo que y_h(x) geralmente diverge e não é transiente nessa direção.
  • Portanto: sim, há termos transientes — o termo homogêneo \dfrac{C}{x e^{x}} é transiente para x\to+\infty.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{x}}{x}+\dfrac{C}{x e^{x}},\\ C\in\mathbb{R}.
I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0) (a solução geral é válida em cada um desses intervalos; x=0 é ponto singular).
Sim. O termo homogêneo \dfrac{C}{x e^{x}} é transiente (decai para 0 quando x\to+\infty).

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