Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que pede:
- Achar a solução geral
. - Dar o maior(s) intervalo(s)
sobre os quais a solução geral está definida. - Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
é . Logo é um ponto singular: não podemos dividir por aí sem cuidado. Assim a resolução será feita em intervalos onde .
Passo 2
Para poder aplicar o método padrão, assumimos
e dividimos a equação por
. Isso coloca a equação na forma padrão de primeira ordem:
Aqui identificamos:
-
(o coeficiente de ), -
(o lado direito).
Lembre-se: essa forma vale apenas quando, portanto as soluções obtidas valerão em intervalos que não contenham .
Passo 3
Método do fator integrante (explicando didaticamente):
- Para uma equação de forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto :
Agora aplicamos isso com
. Calculamos a integral:
Logo
Observação prática: em cada intervalo onde
ou
podemos tomar
(se
) ou
(se
). Usar a expressão
funciona bem em
; para
a diferença de sinal é absorvida na constante de integração final. Vou trabalhar com
entendendo que estamos em um intervalo sem trocar o sinal de
.
Passo 4
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Verificação rápida:
Portanto obtemos a equação simples
Integramos ambos os lados em função de
:
onde
é constante de integração (constante que pode depender do intervalo escolhido: um
para
e outro para
, se desejado). Isolando
:
Simplificando:
Essa é a solução geral válida para
. Repare que a primeira parcela é uma solução particular
e a segunda parcela é a solução geral do homogêneo
.
Passo 5
Discussão do maior(s) intervalo(s)
:
- Como a dedução dividiu por
, a solução geral não pode ser estendida de forma contínua e diferenciável passando por em geral. Portanto os maiores intervalos onde a forma geral vale continuamente são os intervalos conectados que não contêm , ou seja
Em cada um desses intervalos a expressão
com constante
apropriada descreve a família completa de soluções.
Observação extra (útil para a prova): existe uma escolha particular de
que permite um prolongamento contínuo até
. Se tomarmos
então
Fazendo limite
usando expansão
obtém-se
. Isso é coerente com a equação no ponto
, pois substituindo
na equação original resulta
. Contudo, mesmo com essa escolha a equação original não determina
(o termo
some), portanto o problema em
é singular e a extensão não está coberta pelo teorema de existência e unicidade padrão.
Passo 6
Termos transientes — interpretação e conclusão:
- A solução geral foi escrita como soma de particular e homogênea:
- O termo homogêneo é
. Para temos e cresce lentamente, então
Isso significa que
é um termo transiente no sentido usual (decai e desaparece para
grandes e positivos); ele representa a parte da solução que “morre” com o avanço de
. Já para
temos
, de modo que
geralmente diverge e não é transiente nessa direção.
- Portanto: sim, há termos transientes — o termo homogêneo
é transiente para .
Resposta
Sim. O termo homogêneo
é transiente (decai para
quando
).