Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada
e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- É dada a função vetor
- Deve-se determinar a equação da reta tangente à trajetória dessa função no ponto
. - Informação explícita que vou usar: o ponto de tangência é
. Não há mais dados a pedir.
Passo 2
Entendendo o que é a reta tangente para uma função vetor:
- A trajetória é a curva em
descrita por . - A reta tangente em
é a reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor velocidade . - Portanto preciso calcular duas coisas: o ponto
e o vetor derivada avaliado em .
Passo 3
Regra para derivar uma função vetor: deriva-se componente a componente.
- Se
então . - Vou aplicar isso às três componentes de
.
Passo 4
Derivadas das componentes (lembrando regras básicas):
- Escrever as funções como potências facilita:
e . - Regra de potência: se
então . - Aplicando:
Passo 5
Formar
juntando as derivadas:
Passo 6
Avaliar
e
:
- Calcular o ponto:
- Calcular a derivada em
:
Passo 7
Escrever a equação da reta tangente em forma paramétrica:
- A forma padrão da reta com ponto
e vetor direção é , onde . - Aqui
e . - Logo a reta tangente é
- Em componentes paramétricas:
Passo 8
Formato simétrico (opcional) — eliminar
:
- Cada componente dá
. - Poderia escrever de forma equivalente: