Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada
F(t)=\left(\frac{1}{t}, \frac{1}{t^{2}}, t^{2}\right) e F(2)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • É dada a função vetor F(t)=\left(\frac{1}{t},\frac{1}{t^{2}},t^{2}\right).
  • Deve-se determinar a equação da reta tangente à trajetória dessa função no ponto F(2).
  • Informação explícita que vou usar: o ponto de tangência é t=2. Não há mais dados a pedir.

Passo 2

Entendendo o que é a reta tangente para uma função vetor:
  • A trajetória é a curva em \mathbb{R}^{3} descrita por F(t).
  • A reta tangente em t=2 é a reta que passa pelo ponto F(2) e tem direção dada pelo vetor velocidade F'(2).
  • Portanto preciso calcular duas coisas: o ponto F(2) e o vetor derivada F'(t) avaliado em t=2.

Passo 3

Regra para derivar uma função vetor: deriva-se componente a componente.
  • Se F(t)=\big(f(t),g(t),h(t)\big) então F'(t)=\big(f'(t),g'(t),h'(t)\big).
  • Vou aplicar isso às três componentes de F(t).

Passo 4

Derivadas das componentes (lembrando regras básicas):
  • Escrever as funções como potências facilita: \dfrac{1}{t}=t^{-1} e \dfrac{1}{t^{2}}=t^{-2}.
  • Regra de potência: se r(t)=t^{n} então r'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Aplicando: \frac{d}{dt}\left(t^{-1}\right)=-1\cdot t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}},
\frac{d}{dt}\left(t^{-2}\right)=-2\cdot t^{-3}=-\frac{2}{t^{3}},
\frac{d}{dt}\left(t^{2}\right)=2t.

Passo 5

Formar F'(t) juntando as derivadas:
F'(t)=\left(-\frac{1}{t^{2}},-\frac{2}{t^{3}},2t\right).

Passo 6

Avaliar F(2) e F'(2):
  • Calcular o ponto: F(2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2^{2}},2^{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},4\right).
  • Calcular a derivada em 2: F'(2)=\left(-\frac{1}{2^{2}},-\frac{2}{2^{3}},2\cdot 2\right)=\left(-\frac{1}{4},-\frac{2}{8},4\right)=\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},4\right).

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente em forma paramétrica:
  • A forma padrão da reta com ponto P e vetor direção v é \ell(s)=P+s\,v, onde s\in\mathbb{R}.
  • Aqui P=F(2)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},4\right) e v=F'(2)=\left(-\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4},4\right).
  • Logo a reta tangente é \ell(s)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},4\right)+s\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},4\right).
  • Em componentes paramétricas: x(s)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}s,\qquad y(s)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}s,\qquad z(s)=4+4s.

Passo 8

Formato simétrico (opcional) — eliminar s:
  • Cada componente dá s=\dfrac{\tfrac{1}{2}-x}{\tfrac{1}{4}}=\dfrac{\tfrac{1}{4}-y}{\tfrac{1}{4}}=\dfrac{z-4}{4}.
  • Poderia escrever de forma equivalente: \frac{\tfrac{1}{2}-x}{\tfrac{1}{4}}=\frac{\tfrac{1}{4}-y}{\tfrac{1}{4}}=\frac{z-4}{4}.

Resposta

\ell(s)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},4\right)+s\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},4\right)

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