Determine a equação simétrica e reduzida da reta onde passa pelo ponto A(-2,-4,1) e tem como vetor paralelo v(1,5,-3).

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(-2,-4,1) e o vetor paralelo v=(1,5,-3). Queremos achar a reta que passa por A com direção v. Para isso usamos:
– a forma paramétrica (ou “reduzida”), em que introduzimos um parâmetro t;
– a forma simétrica, que elimina t e relaciona diretamente x,y,z.

Passo 2

A definição de reta no espaço em forma paramétrica é
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + t,(a,b,c),
onde (x0,y0,z0)=(-2,-4,1) e (a,b,c)=(1,5,-3). Logo, a equação reduzida é
x = -2 + t, y = -4 + 5t, z = 1 - 3t

Passo 3

Para obter a forma simétrica, isolamos t em cada equação:
t = x + 2, t = y + 45, t = z - 1-3
Igualando essas expressões, a reta fica
x + 21 ;=; y + 45 ;=; z - 1-3

Resposta

Equação reduzida (paramétrica):
x = -2 + t, y = -4 + 5t, z = 1 - 3t
Equação simétrica:
x + 21 = y + 45 = z - 1-3

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