Determine todos os valores de a para que o posto da matriz abaixo seja igual a 4 e calcule o determinante da matriz para a=0 :
cccc 1 & 1 & -1 & 0 2 & 3 & 0 & a 1 & -1 & 4 a-1 & 2 -2 & a-2 & 0 & 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 4x4 e precisamos descobrir para quais valores de a o posto (ou rank) dessa matriz é igual a 4. Além disso, a gente também vai calcular o determinante dessa matriz quando a = 0 .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos básicos:
  1. Posto (Rank) de uma Matriz: Indica o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz.
  2. Determinante: Um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada que ajuda a entender várias propriedades dessa matriz, incluindo o posto.
Uma coisa importante: em uma matriz 4x4, se o determinante for diferente de zero, o posto é 4. Se o determinante for zero, o posto é menor que 4.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o determinante da nossa matriz. Para uma matriz 4x4, o cálculo do determinante pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos simplificar usando a regra de co-fatores. Essa regra envolve expandir o determinante em termos de menores determinantes de matrizes 3x3.
Nossa matriz é:
1 & 1 & -1 & 0 2 & 3 & 0 & a 1 & -1 & 4a-1 & 2 -2 & a-2 & 0 & 1
Vamos expandir o determinante em relação à primeira linha.

Passo 3

Aplicando a regra de co-fatores na primeira linha:
det(A) = 1 cdot 3 & 0 & a -1 & 4a-1 & 2 a-2 & 0 & 1 - 1 cdot 2 & 0 & a 1 & 4a-1 & 2 -2 & 0 & 1 + (-1) cdot 2 & 3 & a 1 & -1 & 2 -2 & a-2 & 1 - 0 cdot 2 & 3 & 0 1 & -1 & 4a-1 -2 & a-2 & 0
Note que o último termo é multiplicado por 0, então ele desaparece. Agora, vamos calcular cada um desses determinantes 3x3.
Primeiro determinante:
3 & 0 & a -1 & 4a-1 & 2 a-2 & 0 & 1
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores novamente, podemos calcular isso. Vamos simplificar:
= 3 cdot 4a-1 & 2 0 & 1 - 0 cdot -1 & 2 a-2 & 1 + a cdot -1 & 4a-1 a-2 & 0
Calculando os menores:
= 3 cdot ((4a-1)(1) - (2)(0)) + a cdot ((-1)(0) - (4a-1)(a-2))
= 3(4a - 1) + a cdot (0 - (4a-1)(a-2))
= 12a - 3 - a(4a^2 - 9a + 2)
= 12a - 3 - 4a^3 + 9a^2 - 2a
= -4a^3 + 9a^2 + 10a - 3
Fazendo cálculos similares para os outros determinantes 3x3:
Segundo determinante:
2 & 0 & a 1 & 4a-1 & 2 -2 & 0 & 1
Calculando:
= 2 cdot 4a-1 & 2 0 & 1 - 0 + a cdot 1 & 4a-1 -2 & 0
= 2((4a-1)(1) - (2)(0)) + a(1 cdot 0 - (4a-1)(-2))
= 2(4a - 1) + a(0 + 8a - 2)
= 8a - 2 + a(8a - 2)
= 8a - 2 + 8a^2 - 2a
= 8a^2 + 6a - 2
Terceiro determinante:
2 & 3 & a 1 & -1 & 2 -2 & a-2 & 1
Calculando:
= 2 cdot -1 & 2 a-2 & 1 - 3 cdot 1 & 2 -2 & 1 + a cdot 1 & -1 -2 & a-2
= 2((-1)(1) - (2)(a-2)) - 3(1 cdot 1 - 2 cdot (-2)) + a(1(a-2) - (-1)(-2))
= 2(-1 - 2a + 4) - 3(1 + 4) + a(a - 2 - 2)
= 2(3 - 2a) - 3(5) + a(a - 4)
= 6 - 4a - 15 + a^2 - 4a
= a^2 - 8a - 9
Agora, voltando ao determinante original:
det(A) = 1 cdot (-4a^3 + 9a^2 + 10a - 3) - 1 cdot (8a^2 + 6a - 2) -1 cdot (a^2 - 8a - 9)
= -4a^3 + 9a^2 + 10a - 3 - 8a^2 - 6a + 2 - a^2 + 8a + 9
= -4a^3 + (9a^2 - 8a^2 - a^2) + (10a - 6a + 8a) + (-3 + 2 + 9)
= -4a^3 + 0a^2 + 12a + 8
= -4a^3 + 12a + 8

Passo 4

Agora que temos o determinante em termos de a :
det(A) = -4a^3 + 12a + 8
Queremos que o posto da matriz seja 4, o que acontece quando o determinante é diferente de zero. Então, precisamos encontrar para quais valores de a :
-4a^3 + 12a + 8 neq 0
Resolvendo a equação:
-4a^3 + 12a + 8 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -4:
a^3 - 3a - 2 = 0
Agora, tentamos encontrar as raízes dessa equação. Testando a = 1 :
1 - 3 - 2 = -4 neq 0
Testando a = 2 :
8 - 6 - 2 = 0
Então, a = 2 é uma raiz. Podemos fatorar a equação usando (a - 2) :
(a - 2)(a^2 + 2a + 1) = 0
Resolvendo a^2 + 2a + 1 = 0 :
a = -2 pm raiz4 - 42 = -1
Então, as raízes são a = 2 e a = -1 .
Portanto, o determinante é zero quando a = 2 ou a = -1 . Então, para o posto ser 4, precisamos que a neq 2 e a neq -1 .

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante quando a = 0 :
det(A) = -4(0)^3 + 12(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8
Então, o determinante da matriz para a = 0 é 8.

Resposta

O posto da matriz é igual a 4 para todos os valores de a exceto quando a = 2 ou a = -1 . Além disso, o determinante da matriz para a = 0 é igual a 8.

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