Determine a equação dos subespaços:
\{(1,2,3,4),(4,3,2,1)\} \subseteq \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede a equação implícita do subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
\,(1,2,3,4) e \,(4,3,2,1).
O conteúdo envolve parametrizar esse plano por escalares a,b e depois eliminar a,b para obter equações lineares em (x_1,x_2,x_3,x_4).

Passo 2

Seja \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) um ponto do subespaço. Então existem a,b\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{x} = a\,(1,2,3,4)+b\,(4,3,2,1)
ou seja
\begin{cases} x_1 = a + 4b,\\\ x_2 = 2a + 3b,\\\ x_3 = 3a + 2b,\\\ x_4 = 4a + b. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos a e b.
Multiplicando x_1 = a+4b por 2 e subtraindo x_2=2a+3b
2x_1 - x_2 = 5b \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{2x_1 - x_2}{5}.
Em seguida
a = x_1 - 4b = x_1 - 4\cdot\frac{2x_1 - x_2}{5} = \frac{4x_2 - 3x_1}{5}.

Passo 4

Substituindo a,b em x_3 = 3a+2b obtemos
x_3 = 3\cdot\frac{4x_2 - 3x_1}{5} + 2\cdot\frac{2x_1 - x_2}{5} = \frac{-5x_1 + 10x_2}{5} = -x_1 + 2x_2.
Logo a primeira equação do subespaço é
x_1 + x_3 - 2x_2 = 0.

Passo 5

Substituindo a,b em x_4 = 4a+b
x_4 = 4\cdot\frac{4x_2 - 3x_1}{5} + \frac{2x_1 - x_2}{5} = \frac{-10x_1 + 15x_2}{5} = -2x_1 + 3x_2.
Assim a segunda equação é
2x_1 + x_4 - 3x_2 = 0.

Resposta

O subespaço gerado por (1,2,3,4) e (4,3,2,1) é
\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_3 - 2x_2 = 0,\; 2x_1 + x_4 - 3x_2 = 0\}.

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