Determine a equação dos subespaços:
\{(1,1,1,1,1),(1,0,1,0,1),(1,-1,0,0,0),(0,0,0,1,0)\} \subseteq \mathbb{R}^{5}

Passo 1

O enunciado pede a equação do subespaço gerado pelos vetores
(1,1,1,1,1), (1,0,1,0,1), (1,-1,0,0,0) e (0,0,0,1,0) em \mathbb{R}^5.
Para descrevê-lo implicitamente, vamos buscar um vetor normal (a,b,c,d,e) ortogonal a todos esses vetores.

Passo 2

Seja (a,b,c,d,e) normal, então as condições (a,b,c,d,e)\cdot v_i=0 geram o sistema
\begin{cases} a+b+c+d+e=0,\\\ a+0\cdot b+c+0\cdot d+e=0,\\\ a-b+0\cdot c+0\cdot d+0\cdot e=0,\\\\ 0\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+d+0\cdot e=0. \end{cases}

Passo 3

Do terceiro item vem a-b=0\implies b=a. Do quarto vem d=0. Substituindo em
a+c+e=0\quad\text{e}\quad a+b+c+d+e=0
temos c=-a-e e, ao substituir b=a, obtém-se a=0. Logo b=0 e c=-e.
Um vetor normal não nulo é, por exemplo,
(0,0,-1,0,1).

Passo 4

O subespaço é o hipersuperfície definido por
(0,0,-1,0,1)\cdot(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=0,
ou seja,
-x_3+x_5=0.

Resposta

\,x_3 - x_5 = 0.

Exercícios relacionados