Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C :
u=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)
e C=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right)\right\} \subseteq M_{2 \times 2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
u = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
como combinação linear das matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é espaço vetorial de matrizes e combinação linear, que reduz a resolver um sistema linear em escalares \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Definimos incógnitas \alpha,\beta,\gamma e impomos
\alpha\,A \;+\;\beta\,B\;+\;\gamma\,C \;=\;u.
Ou seja,
\alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 1,\\\ \alpha - \beta + \gamma = 0,\\\ \alpha - \gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem \gamma=\alpha. Substituindo em \alpha-\beta+\gamma=0
2\alpha-\beta=0\quad\Longrightarrow\quad\beta=2\alpha.
Finalmente, em \alpha+\beta+\gamma=1 substituímos \beta=2\alpha e \gamma=\alpha:
\alpha + 2\alpha + \alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4\alpha=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\tfrac14,
logo \beta=\tfrac12 e \gamma=\tfrac14.

Resposta

u = \tfrac14 \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} + \tfrac12 \begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix} + \tfrac14 \begin{pmatrix}1&1\\\ -1&-1\end{pmatrix}.

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