Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C :
u=1-t^{2} e C=\left\{1+t+t^{2}, 1-t, 1+2 t^{2}\right\} \subseteq P^{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio u(t)=1 - t^2 como combinação linear dos vetores de
C = \{\,1+t+t^2,\;1-t,\;1+2t^2\}\subseteq P^2.
O conteúdo é encontrar escalares a,b,c tais que
u(t)=a\,(1+t+t^2)+b\,(1-t)+c\,(1+2t^2).

Passo 2

Supondo
u(t)=a\,(1+t+t^2)+b\,(1-t)+c\,(1+2t^2),
vamos expandir e agrupar termos segundo as potências de t.

Passo 3

Expandindo, obtemos
a(1+t+t^2)+b(1-t)+c(1+2t^2) =(a+b+c)\;+\;(a-b)\,t\;+\;(a+2c)\,t^2.
Para igualar a 1 - t^2, exigimos o sistema de coeficientes:
\begin{cases} a + b + c = 1,\\\ a - b = 0,\\\ a + 2c = -1. \end{cases}

Passo 4

Do segundo enunciado a-b=0 vem b=a. Substituindo em a+b+c=1
2a + c = 1\quad\Longrightarrow\quad c = 1 - 2a.
Então o terceiro enunciado a+2c=-1 fica
a + 2(1-2a) = -1 \quad\Longrightarrow\quad a + 2 - 4a = -1 \quad\Longrightarrow\quad -3a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.
Logo b = 1 e c = 1 - 2\cdot1 = -1.

Passo 5

Substituindo a=1, b=1 e c=-1 na combinação linear original, concluímos
u(t)=1\cdot(1+t+t^2)+1\cdot(1-t)-1\cdot(1+2t^2).

Resposta

u(t)= (1+t+t^2)+(1-t)-(1+2t^2).

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