Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos P(x, y, z) que estão equidistantes do ponto (0,0,1) e do plano z=-1. Identifique a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar uma equação que descreve todos os pontos P(x, y, z) que estão na mesma distância de um ponto fixo (0, 0, 1) e de um plano dado z = -1 . Esse tipo de problema está na matéria de Geometria Analítica, mais especificamente em superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula para a distância entre dois pontos P(x, y, z) e Q(x0, y0, z0) é:
dpontos = raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2
No nosso caso, o ponto fixo é Q(0, 0, 1) , então a distância entre P e Q fica:
dPQ = raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de um ponto P(x, y, z) até o plano z = -1 . A fórmula para a distância de um ponto a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
dplano = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano z = -1 pode ser reescrito como 0x + 0y + 1z + 1 = 0 , então A = 0 , B = 0 , C = 1 , e D = 1 . Aplicando na fórmula:
dplano = |0cdot x + 0cdot y + 1cdot z + 1|raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = |z + 1|1 = |z + 1|

Passo 4

Como queremos que os pontos estejam equidistantes do ponto e do plano, vamos igualar dPQ e dplano :
raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2 = |z + 1|
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = (z + 1)^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1 = z^2 + 2z + 1
Vamos simplificar a equação cancelando termos iguais dos dois lados:
x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1 - z^2 - 2z - 1 = 0
Isso simplifica para:
x^2 + y^2 - 4z = 0

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para deixar z isolado:
x^2 + y^2 = 4z

Resposta

A equação da superfície é x^2 + y^2 = 4z , e a superfície é um paraboloide.

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