Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos
que estão equidistantes do ponto
e do plano
. Identifique a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar uma equação que descreve todos os pontos
que estão na mesma distância de um ponto fixo
e de um plano dado
. Esse tipo de problema está na matéria de Geometria Analítica, mais especificamente em superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
No nosso caso, o ponto fixo é
, então a distância entre
e
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância de um ponto
até o plano
. A fórmula para a distância de um ponto a um plano
é:
No nosso caso, o plano
pode ser reescrito como
, então
,
,
, e
. Aplicando na fórmula:
Passo 4
Como queremos que os pontos estejam equidistantes do ponto e do plano, vamos igualar
e
:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
Vamos simplificar a equação cancelando termos iguais dos dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado:
Resposta
A equação da superfície é
, e a superfície é um paraboloide.