Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas r: y=z=0 e l: x=y-1=0. Que conjunto é este?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância das retas r: y = z = 0 e l: x = y - 1 = 0 . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as retas dadas:
  • A reta r: y = z = 0 é a reta do eixo x no espaço tridimensional, onde qualquer ponto tem a forma (x, 0, 0) .
  • A reta l: x = y - 1 = 0 pode ser reescrita como x = 0 e y = 1 , o que significa que é a reta paralela ao eixo z passando pelo ponto (0,1,0) .

Passo 3

Vamos chamar o ponto genérico no espaço de P(x, y, z) . Queremos que a distância de P até a reta r seja igual à distância de P até a reta l .
A fórmula da distância entre um ponto P(x, y, z) e uma reta a: r0 + tu é dada por:
d = |u times (P - r0)||u|
Onde u é o vetor diretor da reta e r0 é um ponto na reta.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para ambas as retas.
Para a reta r: y = z = 0 :
  • Vetor diretor ur = (1, 0, 0)
  • Ponto na reta r0r = (0, 0, 0)
A distância de P(x, y, z) a r é:
dr = |ur times (P - r0r)||ur| = |(1,0,0) times (x,y,z)|1 = |(0, -z, y)|
Calculando a magnitude:
dr = raiz0^2 + (-z)^2 + y^2 = raizy^2 + z^2
Para a reta l: x = 0, y = 1 :
  • Vetor diretor ul = (0, 0, 1)
  • Ponto na reta r0l = (0,1,0)
A distância de P(x, y, z) a l é:
dl = |ul times (P - r0l)||ul| = |(0,0,1) times (x,y-1,z)|1 = |( -(y-1), x, 0 )|
Calculando a magnitude:
dl = raiz(-(y-1))^2 + x^2 + 0^2 = raizx^2 + (y - 1)^2

Passo 5

Agora, queremos que dr = dl , ou seja:
raizy^2 + z^2 = raizx^2 + (y - 1)^2
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
y^2 + z^2 = x^2 + (y - 1)^2
Expandindo o lado direito:
y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1
Simplificando, cancelando y^2 de ambos os lados:
z^2 = x^2 - 2y + 1
Podemos reescrever isso como:
x^2 - 2y + 1 - z^2 = 0

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para identificar melhor o conjunto geométrico:
x^2 - z^2 - 2y + 1 = 0 Rightarrow x^2 - z^2 = 2y - 1
Isso se assemelha à equação de um cone ou hipersuperfície. Observando mais de perto, vemos que essa é a equação de um paraboloide hiperbólico deslocado.

Resposta

A equação do lugar geométrico é x^2 - z^2 = 2y - 1 e o conjunto formado é um paraboloide hiperbólico.

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