Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas
e
. Que conjunto é este?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância das retas
e
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas dadas:
-
A reta
é a reta do eixo no espaço tridimensional, onde qualquer ponto tem a forma . -
A reta
pode ser reescrita como e , o que significa que é a reta paralela ao eixo passando pelo ponto .
Passo 3
Vamos chamar o ponto genérico no espaço de
. Queremos que a distância de
até a reta
seja igual à distância de
até a reta
.
A fórmula da distância entre um ponto
e uma reta
é dada por:
Onde
é o vetor diretor da reta e
é um ponto na reta.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para ambas as retas.
Para a reta
:
- Vetor diretor
- Ponto na reta
A distância de
a
é:
Calculando a magnitude:
Para a reta
:
- Vetor diretor
- Ponto na reta
A distância de
a
é:
Calculando a magnitude:
Passo 5
Agora, queremos que
, ou seja:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo o lado direito:
Simplificando, cancelando
de ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para identificar melhor o conjunto geométrico:
Isso se assemelha à equação de um cone ou hipersuperfície. Observando mais de perto, vemos que essa é a equação de um paraboloide hiperbólico deslocado.
Resposta
A equação do lugar geométrico é
e o conjunto formado é um paraboloide hiperbólico.