Sejam os vetores v1=(1,3), v2=(-1,4) e a matriz [T]B=[rr1 & 3 -2 & 5], onde B=v1, v2.
(a) Determine [T(v1)]B e [T(v2)]B.
(b) Encontre T(v1) e T(v2).
(c) Encontre T(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^2,
v1 = (1,3), v2 = (-1,4),
que formam a base B=v1,v2, e a matriz de uma transformação linear T nessa base:
[T]B = 1 & 3 -2 & 5
Pede-se (a) as coordenadas l[T(v1)r]B,l[T(v2)r]B, (b) as imagens T(v1),T(v2) em coordenadas padrão e (c) a fórmula de T(x,y). Vamos usar a relação entre coordenadas em B e no padrão e a mudança de base.

Passo 2

Para qualquer vetor da base B, as colunas de [T]B já nos dão suas coordenadas em B. Assim:
l[T(v1)r]B = 1-2, l[T(v2)r]B = 35

Passo 3

Para obter T(v1) e T(v2) em coordenadas padrão, escrevemos
T(v1) = 1cdot v1 + (-2)cdot v2 = v1 - 2,v2 = (1,3) -2,(-1,4) = (1,3)+(2,-8) = (3,-5),
T(v2) = 3cdot v1 + 5cdot v2 = 3,(1,3) +5,(-1,4) = (3,9)+(-5,20) = (-2,29)

Passo 4

Para achar a fórmula de T em coordenadas padrão, montamos a matriz de passagem da base B para a canônica:
M = l[,v1;v2r] = 1 & -13 & 4,
cuja inversa é
M^-1 = 174 & 1 -3 & 1
A matriz de T no padrão é
A ;=; M,[T]B,M^-1

Passo 5

Primeiro calculamos
Então
Logo, para em coordenadas padrão,

Resposta

(a) l[T(v1)r]B=1-2, l[T(v2)r]B=35.
(b) T(v1)=(3,-5), T(v2)=(-2,29).
(c) T(x,y)=l(tfrac18x+y7,tfrac-107x+24y7r).

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