Seja
o conjunto dos pontos de
equidistantes do ponto
e da esfera
. Que conjunto é este?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um ponto específico,
, e uma esfera definida pela equação
. A pergunta é: qual é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional (
) que estão a mesma distância de
e dessa esfera
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e a definição de distância de um ponto a uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos
e
, a distância entre eles é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre
e
, que fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância de um ponto
até a esfera
. A distância de um ponto até uma esfera é a diferença entre a distância do ponto até o centro da esfera e o raio da esfera. A esfera
tem centro na origem
e raio
. Então:
Queremos que
, ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
. Primeiro, vamos isolar uma das raízes:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Expandindo
:
Cancelando
dos dois lados:
Vamos isolar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dividindo por 2:
Agora, elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Reorganizando os termos:
Podemos reescrever isso como:
Completando o quadrado para
:
Finalmente:
Resposta
O conjunto
é uma parábola tridimensional (paraboloide) definida pela equação:
Isso significa que todos os pontos que estão à mesma distância do ponto
e da esfera
formam essa superfície parabólica no espaço.