Seja S o conjunto dos pontos de R^3 equidistantes do ponto A=(0,2,0) e da esfera S0: x^2+y^2+z^2=1. Que conjunto é este?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um ponto específico, A = (0, 2, 0) , e uma esfera definida pela equação S0: x^2 + y^2 + z^2 = 1 . A pergunta é: qual é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional ( R^3 ) que estão a mesma distância de A e dessa esfera S0 ? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e a definição de distância de um ponto a uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos P = (x, y, z) e Q = (x', y', z') , a distância entre eles é dada por:
d(P, Q) = raiz(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2
No nosso caso, queremos a distância entre P = (x, y, z) e A = (0, 2, 0) , que fica:
d(P, A) = raiz(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2 = raizx^2 + (y - 2)^2 + z^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância de um ponto P = (x, y, z) até a esfera S0 . A distância de um ponto até uma esfera é a diferença entre a distância do ponto até o centro da esfera e o raio da esfera. A esfera S0 tem centro na origem O = (0, 0, 0) e raio r = 1 . Então:
d(P, S0) = raizx^2 + y^2 + z^2 - 1
Queremos que d(P, A) = d(P, S0) , ou seja:
raizx^2 + (y - 2)^2 + z^2 = raizx^2 + y^2 + z^2 - 1

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre x, y, z . Primeiro, vamos isolar uma das raízes:
raizx^2 + (y - 2)^2 + z^2 = raizx^2 + y^2 + z^2 - 1
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = (raizx^2 + y^2 + z^2 - 1)^2
Expandindo o lado direito:
x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2raizx^2 + y^2 + z^2 + 1
Simplificando:
(y - 2)^2 = y^2 - 2raizx^2 + y^2 + z^2 + 1
Expandindo (y - 2)^2 :
y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2raizx^2 + y^2 + z^2 + 1
Cancelando y^2 dos dois lados:
-4y + 4 = -2raizx^2 + y^2 + z^2 + 1
Vamos isolar a raiz:
-4y + 4 - 1 = -2raizx^2 + y^2 + z^2
-4y + 3 = -2raizx^2 + y^2 + z^2
Multiplicando ambos os lados por -1:
4y - 3 = 2raizx^2 + y^2 + z^2
Dividindo por 2:
2y - 32 = raizx^2 + y^2 + z^2
Agora, elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
(2y - 32)^2 = x^2 + y^2 + z^2
Expandindo o lado esquerdo:
4y^2 - 6y + 94 = x^2 + y^2 + z^2
Reorganizando os termos:
4y^2 - y^2 - 6y + 94 - x^2 - z^2 = 0
3y^2 - 6y + 94 - x^2 - z^2 = 0
Podemos reescrever isso como:
x^2 + z^2 + 3(y^2 - 2y) + 94 = 0
Completando o quadrado para y :
x^2 + z^2 + 3[(y - 1)^2 - 1] + 94 = 0
x^2 + z^2 + 3(y - 1)^2 - 3 + 94 = 0
x^2 + z^2 + 3(y - 1)^2 - 34 = 0
Finalmente:
x^2 + z^2 + 3(y - 1)^2 = 34

Resposta

O conjunto S é uma parábola tridimensional (paraboloide) definida pela equação:
x^2 + z^2 + 3(y - 1)^2 = 34
Isso significa que todos os pontos que estão à mesma distância do ponto A = (0, 2, 0) e da esfera S0: x^2 + y^2 + z^2 = 1 formam essa superfície parabólica no espaço.

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