Seja T um operador linear em R^2. Sabendo que T duplica o vetor (1,-1) e triplica o vetor (0,1) sem alterar o sentido deles, determine T(x, y). A transformação linear T é diagonalizável? Justifique sua resposta. Se for, dê a base do R^2 com relação à qual a matriz de T é diagonal e escreva a matriz de T com relação a esta base.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear, que
1. T(1,-1)=2,(1,-1),
2. T(0,1)=3,(0,1).
Isso significa que (1,-1) e (0,1) são autovetores de T com autovalores 2 e 3 respectivamente. Vamos usar essa informação para achar a fórmula geral de T(x,y) e depois verificar se T é diagonalizável, encontrando uma base de autovetores e a matriz diagonal.

Passo 2

Verificamos que os vetores dados são linearmente independentes, pois
det1&0-1&1=1neq0
Logo (1,-1),(0,1) é base de R^2, e podemos escrever
(x,y)=a,(1,-1)+b,(0,1)
Resolvendo
(a,,-a+b)=(x,y)Longrightarrow a=x,;b=x+y

Passo 3

Usando linearidade de T,
T(x,y) =Tl(a,(1,-1)+b,(0,1)r) =a,T(1,-1)+b,T(0,1) =xcdot2(1,-1)+(x+y)cdot3(0,1)
Em coordenadas, isso dá
T(x,y)=(2x,,-2x)+(0,3x+3y)=(2x,;x+3y)

Passo 4

Como T tem dois autovalores distintos ( 2 e 3) e já exibimos dois autovetores linearmente independentes, concluímos que T é diagonalizável. A base de autovetores é
B=,v1=(1,-1),;v2=(0,1),
em que T(v1)=2v1 e T(v2)=3v2.

Passo 5

Na base B, a matriz de T é diagonal, com as entradas na diagonal iguais aos autovalores correspondentes:
[T]B = 2 & 0 0 & 3

Resposta

A transformação é
T(x,y)=(2x,;x+3y)
Sim, T é diagonalizável. Uma base de R^2 de autovetores é B=(1,-1),(0,1) e, nessa base,
[T]B=2&00&3

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