Seja um operador linear em . Sabendo que duplica o vetor e triplica o vetor sem alterar o sentido deles, determine . A transformação linear é diagonalizável? Justifique sua resposta. Se for, dê a base do com relação à qual a matriz de é diagonal e escreva a matriz de com relação a esta base.
Passo 1
O enunciado diz que é linear, que . , . .
Isso significa que e são autovetores de com autovalores e respectivamente. Vamos usar essa informação para achar a fórmula geral de e depois verificar se é diagonalizável, encontrando uma base de autovetores e a matriz diagonal.
Passo 2
Verificamos que os vetores dados são linearmente independentes, pois
Logo é base de , e podemos escrever
Resolvendo
Passo 3
Usando linearidade de ,
Em coordenadas, isso dá
Passo 4
Como tem dois autovalores distintos ( e ) e já exibimos dois autovetores linearmente independentes, concluímos que é diagonalizável. A base de autovetores é
em que e .
Passo 5
Na base , a matriz de é diagonal, com as entradas na diagonal iguais aos autovalores correspondentes:
Resposta
A transformação é
T(x,y)=(2x,;x+3y)
Sim, T é diagonalizável. Uma base de R^2 de autovetores é B=(1,-1),(0,1) e, nessa base,