Provar que o ponto
é o ponto da elipse
,
, mais próximo do foco
.
Sejam
um ponto qualquer da elipse e o outro foco
. Seja
. Observar que
. Logo,
e
A diferença
:
Assim,
portanto, O ponto
é o ponto da elipse mais próximo do foco
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dentre todos os pontos
que satisfazem
o que minimiza a distância até o foco
é
. Vamos usar a propriedade fundamental da elipse de que a soma das distâncias a ambos os focos é constant e vale
.
Passo 2
Denotemos
e seja o outro foco
. Como na elipse
, temos
Passo 3
Escrevendo as distâncias ao quadrado, obtemos
Mas
, então
Passo 4
Subtraindo a expressão de
da de
, temos
logo
Como em toda elipse
, seguem
Passo 5
Concluímos que para todo ponto
da elipse vale
A igualdade
ocorre exatamente quando
e
, ou seja em
. Portanto
é o ponto mais próximo de
.
Resposta
O ponto
é o ponto da elipse mais próximo do foco
.