Provar que o ponto V=(a, 0) é o ponto da elipse x^2a^2+y^2b^2=1, a>b, mais próximo do foco F=(c, 0).
Sejam P=(x0 ; y0) um ponto qualquer da elipse e o outro foco F1=(-c ; 0). Seja d=distância(P ; F). Observar que distância(P ; F1)=2 a-d. Logo,
4 a^2-4 a d+d^2=(2 a-d)^2=distância(P ; F1)^2=x0^2+2 x0 c+c^2+y0^2
e
d^2=distância(P ; F)^2=x0^2-2 x0 c+c^2+y0^2
A diferença A-B :
4 a^2-4 a d=4 x0 c Rightarrow a^2-a d=x0 c <= a c Rightarrow a-d <= c Rightarrow a-c <= d
Assim,
distância(V ; F)=a-c <= d=distância(P ; F)
portanto, O ponto V=(a, 0) é o ponto da elipse mais próximo do foco F=(c, 0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dentre todos os pontos P=(x0,y0) que satisfazem
x0^2a^2+y0^2b^2=1, a>b,
o que minimiza a distância até o foco F=(c,0) é V=(a,0). Vamos usar a propriedade fundamental da elipse de que a soma das distâncias a ambos os focos é constant e vale 2a.

Passo 2

Denotemos
d = distância(P;F)=PF, â
e seja o outro foco F1=(-c,0). Como na elipse PF + PF1 =2a, temos
PF1 = 2a - d

Passo 3

Escrevendo as distâncias ao quadrado, obtemos
d^2 = PF^2 = (x0 - c)^2 + y0^2,
PF1^2 = (x0 + c)^2 + y0^2
Mas PF1 = 2a - d, então
(2a - d)^2 = (x0 + c)^2 + y0^2

Passo 4

Subtraindo a expressão de d^2 da de (2a-d)^2, temos
(2a-d)^2 - d^2 = l((x0+c)^2+y0^2r) - l((x0-c)^2+y0^2r),
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4a^2 - 4ad = 4x0c Longrightarrow a^2 - a,d = x0,c
Como em toda elipse lvert x0rvert<= a, seguem
x0,c <= a,c Longrightarrow a^2 - a,d <= a,c Longrightarrow a - c <= d

Passo 5

Concluímos que para todo ponto P da elipse vale
distância(P;F);=;d;>=;a-c â
A igualdade d=a-c ocorre exatamente quando x0=a e y0=0, ou seja em V=(a,0). Portanto V é o ponto mais próximo de F.

Resposta

O ponto ,(a,0), é o ponto da elipse mais próximo do foco F=(c,0).

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