Exercícios Teóricos
6.2.7. Mostre que conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma
representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.
6.2.8. Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto
e curva diretriz situada no plano
com equação
é
6.2.7. Mostre que conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma
6.2.8. Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto
Passo 1
Beleza, a gente tem dois objetivos:
- Mostrar que a superfície definida por uma equação do tipo
, ou , ou
é um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação, e que a equaçãono plano correspondente é a curva diretriz. - Mostrar que a superfície cônica com vértice em
e diretriz dada por no plano tem equação
O conteúdo é geometria analítica de superfícies cilíndricas e cônicas, usando parametrização de retas.
Passo 2
Para 6.2.7, concentre-se em
.
Quando satisfaz
, qualquer
real também satisfaz
. Ou seja, para cada ponto
da curva
no plano
temos a reta
inteira contida em . Essas retas são paralelas ao eixo
e se chamam geratrizes do cilindro.
Quando
inteira contida em
Passo 3
O mesmo raciocínio vale para
, cujas geratrizes são paralelas ao eixo
,
e para
, cujas geratrizes são paralelas ao eixo
.
Em cada caso, a curva diretriz é simplesmente a curva no plano formado pelas duas variáveis que aparecem.
e para
Em cada caso, a curva diretriz é simplesmente a curva
Passo 4
Para 6.2.8, pegue um ponto genérico
na superfície cônica com vértice
. A reta que liga
a
pode ser parametrizada por
Quando essa reta cruza o plano
, o parâmetro
satisfaz
,
logo
logo
Passo 5
O ponto de interseção
de
com
tem coordenadas
Por definição de diretriz,
deve satisfazer
no plano
. Isso impõe
que é exatamente a equação desejada.
Resposta
6.2.7. Cada equação
,
ou
define um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo da variável ausente, e cuja diretriz é a curva
no plano das duas variáveis que aparecem.
6.2.8. A equação da superfície cônica com vértice em e diretriz
em
é
6.2.8. A equação da superfície cônica com vértice em