Exercícios Teóricos
6.2.7. Mostre que conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma
f(x, y)=0 ou f(x, z)=0 ou f(y, z)=0
representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.
6.2.8. Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto P0=(x0, y0, z0) e curva diretriz situada no plano z=c com equação f(x, y)=0 é
f(x0+c-z0z-z0(x-x0), y0+c-z0z-z0(y-y0))=0

Passo 1

Beleza, a gente tem dois objetivos:
  1. Mostrar que a superfície definida por uma equação do tipo
    ;f(x,y)=0, ou ;f(x,z)=0, ou ;f(y,z)=0
    é um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação, e que a equação f=0 no plano correspondente é a curva diretriz.
  2. Mostrar que a superfície cônica com vértice em P0=(x0,y0,z0) e diretriz dada por f(x,y)=0 no plano z=c tem equação
f!l(x0+c-z0,z-z0,(x-x0),,y0+c-z0,z-z0,(y-y0)r)=0
O conteúdo é geometria analítica de superfícies cilíndricas e cônicas, usando parametrização de retas.

Passo 2

Para 6.2.7, concentre-se em
;S=(x,y,z)mid f(x,y)=0.
Quando (x,y) satisfaz f(x,y)=0, qualquer z real também satisfaz f(x,y)=0. Ou seja, para cada ponto (x,y) da curva f(x,y)=0 no plano xy temos a reta
(x,y,z)mid zinR
inteira contida em S. Essas retas são paralelas ao eixo z e se chamam geratrizes do cilindro.

Passo 3

O mesmo raciocínio vale para
(x,y,z)mid f(x,z)=0, cujas geratrizes são paralelas ao eixo y,
e para
(x,y,z)mid f(y,z)=0, cujas geratrizes são paralelas ao eixo x.
Em cada caso, a curva diretriz é simplesmente a curva f=0 no plano formado pelas duas variáveis que aparecem.

Passo 4

Para 6.2.8, pegue um ponto genérico (x,y,z) na superfície cônica com vértice P0=(x0,y0,z0). A reta que liga P0 a (x,y,z) pode ser parametrizada por
L(t)=l(x0+t(x-x0),;y0+t(y-y0),;z0+t(z-z0)r)
Quando essa reta cruza o plano z=c, o parâmetro t satisfaz
;z0+t(z-z0)=c,
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;t=dfracc-z0,z-z0,

Passo 5

O ponto de interseção Q de L(t) com z=c tem coordenadas
l(x0+tfracc-z0,z-z0,(x-x0),; y0+tfracc-z0,z-z0,(y-y0),;cr)
Por definição de diretriz, Q deve satisfazer f(x,y)=0 no plano z=c. Isso impõe
f!l(x0+tfracc-z0,z-z0,(x-x0),, y0+tfracc-z0,z-z0,(y-y0)r)=0,
que é exatamente a equação desejada.

Resposta

6.2.7. Cada equação f(x,y)=0, f(x,z)=0 ou f(y,z)=0 define um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo da variável ausente, e cuja diretriz é a curva f=0 no plano das duas variáveis que aparecem.
6.2.8. A equação da superfície cônica com vértice em P0=(x0,y0,z0) e diretriz f(x,y)=0 em z=c é
f!l(x0+tfracc-z0,z-z0,(x-x0),,y0+tfracc-z0,z-z0,(y-y0)r)=0

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