Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado.
y z=1 e x=0 em torno do eixo z

Passo 1

O enunciado dá a curva
y,z = 1, x=0
no plano x=0 (uma hipérbola no plano yz) e pede a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo z. Para descrever a superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), com
r = raizx^2 + y^2,

Passo 2

Na curva geradora temos x=0 e y=1/z. Quando giramos em torno de z, cada ponto (0,y,z) descreve um círculo de raio lvert yrvert. Logo, no ponto da superfície temos
r = |y| = l|1zr|,

Passo 3

Para eliminar o valor absoluto e obter uma equação em x,y,z, elevamos ao quadrado ambos os lados:
r^2 = 1z^2 Longrightarrow (r^2),z^2 = 1,

Passo 4

Voltando às coordenadas cartesianas, r^2 = x^2+y^2. Assim a equação da superfície é
(x^2 + y^2),z^2 = 1,

Resposta

boxed(x^2 + y^2),z^2 = 1,

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