Encontre os valores de a, b e c de modo que (2, b, c) cdot((1,2,3) x(1,0,-1))=8.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os valores de a,b,c de modo que o produto escalar
(2,b,c);cdot;l((1,2,3)times(1,0,-1)r) ;=;8
Aqui vamos usar dois conceitos de álgebra vetorial: cálculo de produto vetorial e em seguida cálculo de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto vetorial
(1,2,3)times(1,0,-1)
Pela regra de Sarrus (determinante 3times 3),
i&j&k 1&2&3 1&0&-1 =i(2cdot(-1)-3cdot0)-j(1cdot(-1)-3cdot1)+k(1cdot0-2cdot1)
Isso dá
-2,i-(-4),j-2,k =(-2,4,-2)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar entre (2,b,c) e (-2,4,-2):
(2,b,c)cdot(-2,4,-2) =2cdot(-2)+bcdot4+ccdot(-2)

Passo 4

Igualamos ao valor dado, 8:
2cdot(-2)+4b-2c=8 Longrightarrow -4+4b-2c=8 Longrightarrow 4b-2c=12
Dividindo por 2,
2b - c = 6 Longrightarrow c = 2b - 6

Resposta

Os vetores (2,b,c) que satisfazem a condição são todos aqueles com
a=2, c=2b-6, binR
Ou seja, o conjunto solução é
(2,b,2b-6)mid binR

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