Determine a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,-4,2) e é paralela ao vetor v=(2,1,-3), ou seja, v é vetor diretor de r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto A = (3, -4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, -3) . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de vetores e parametrização de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta no espaço é dada por:
r = r0 + tv
Onde:
  • r0 é o vetor posição de um ponto da reta (neste caso, o ponto A ).
  • v é o vetor diretor da reta.
  • t é um parâmetro real.
Então, substituindo os valores que temos:
r = (3, -4, 2) + t(2, 1, -3)

Passo 3

Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações paramétricas. As equações paramétricas são obtidas separando cada componente:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Aplicando nossos valores:
x = 3 + 2t y = -4 + 1t z = 2 - 3t
Essas equações nos dizem como cada coordenada varia em função do parâmetro t .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar as equações simétricas da reta. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para t e igualamos:
t = x - 32 = y + 41 = z - 2-3
Então, as equações simétricas ficam:
x - 32 = y + 4 = z - 2-3

Resposta

  • Equação vetorial: r = (3, -4, 2) + t(2, 1, -3)
  • Equações paramétricas:
x = 3 + 2t y = -4 + t z = 2 - 3t
  • Equações simétricas:
x - 32 = y + 4 = z - 2-3

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