Determine a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor , ou seja, é vetor diretor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de vetores e parametrização de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta no espaço é dada por:
Onde:
é o vetor posição de um ponto da reta (neste caso, o ponto ).
é o vetor diretor da reta.
é um parâmetro real.
Então, substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações paramétricas. As equações paramétricas são obtidas separando cada componente:
Aplicando nossos valores:
x = 3 + 2t y = -4 + 1t z = 2 - 3t
Essas equações nos dizem como cada coordenada varia em função do parâmetro t .
Passo 4
Por fim, vamos encontrar as equações simétricas da reta. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para t e igualamos: