Determine se as retas abaixo são paralelas ou ortogonais:
r:(x, y, z)=(1,2,3)+t(1,1,1) e s:(x, y, z)=(0,1,0)+t(2,2,-4).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r: (x,y,z) = (1,2,3) + t,(1,1,1),
s: (x,y,z) = (0,1,0) + t,(2,2,-4)
Queremos decidir se elas são paralelas (os vetores diretores são múltiplos escalares) ou ortogonais (o produto escalar entre os vetores diretores é zero).

Passo 2

Verificamos primeiro o paralelismo comparando os vetores diretores
vr = (1,1,1) e vs = (2,2,-4).
Para serem paralelos existiria k tal que
(2,2,-4) = k,(1,1,1)
Das primeiras duas coordenadas teríamos 2=k e 2=k, ou seja k=2. Mas da terceira coordenada precisaríamos -4 = kcdot1 = 2, o que não bate. Logo não são paralelas.

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar
vr cdot vs = (1)(2) + (1)(2) + (1)(-4) = 2 + 2 - 4 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares e, portanto, as retas são ortogonais.

Resposta

As retas r e s são ortogonais.

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