Determine a equação vetorial e equações paramétricas em \mathbb{R}^{3} que passa pela origem e é paralela ao vetor \vec{v}=(4,-5,1), use a equação vetorial e encontre dois pontos distintos de P_{0}.

Passo 1

O enunciado pede a reta em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e é paralela ao vetor \vec v=(4,-5,1). O conteúdo aqui é equação vetorial e equações paramétricas de reta. Para isso, usaremos a forma
\mathbf r(t)=\mathbf r_0 + t\,\mathbf v
onde \mathbf r_0 é um ponto da reta e \mathbf v o vetor direção.

Passo 2

Como a reta passa pela origem, escolhemos
\mathbf r_0=(0,0,0), \quad \mathbf v=(4,-5,1).
Substituindo na forma vetorial, obtemos
\mathbf r(t)=(0,0,0)+t\,(4,-5,1).

Passo 3

Para extrair as equações paramétricas, igualamos as componentes de \mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)):
x(t)=4t, \quad y(t)=-5t, \quad z(t)=t.

Passo 4

Para encontrar dois pontos distintos diferentes do ponto inicial \mathbf r_0, basta atribuir valores distintos a t. Por exemplo:
- Se t=1,
P_1=\bigl(4\cdot1,\,-5\cdot1,\,1\bigr)=(4,-5,1).
- Se t=2,
P_2=\bigl(4\cdot2,\,-5\cdot2,\,2\bigr)=(8,-10,2).

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf r(t)=t\,(4,-5,1).
Equações paramétricas:
x=4t,\quad y=-5t,\quad z=t.
Dois pontos distintos na reta (além da origem) são
P_1=(4,-5,1) \quad\text{e}\quad P_2=(8,-10,2).

Exercícios relacionados