Encontre as equações vetoriais, paramétricas e simétricas da reta r que passa pelos pontos A=(2,-1,6) e P=(3,1,-2).

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta r que passa pelos pontos A=(2,-1,6) e P=(3,1,-2). Para isso vamos calcular primeiro o vetor diretor dessa reta, obtido subtraindo as coordenadas de A das de P.

Passo 2

O vetor diretor \vec d é dado por
\vec d = \overrightarrow{AP} = (3-2,\;1-(-1),\;-2-6) = (1,\,2,\,-8).

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando A como ponto de apoio e t\in\mathbb{R} como parâmetro, fica:
\vec r(t) = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Das componentes da equação vetorial derivamos as equações paramétricas:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 6 - 8t. \end{cases}

Passo 5

Como nenhum componente de \vec d é zero, podemos escrever a forma simétrica dividindo cada diferença pela respectiva componente de \vec d:
\frac{x-2}{1} \;=\;\frac{y+1}{2}\;=\;\frac{z-6}{-8}.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r(t) = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -8\end{pmatrix}.
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 6 - 8t. \end{cases}
Equação simétrica:
\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-6}{-8}.

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