Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condiçÔes iniciais do PVI, a solução particular.
\left(y e^{x y} \cos (2 x)-2 e^{x y} \operatorname{sen}(2 x)+2 x\right) d x++\left(x e^{x y} \cos (2 x)-3\right) d y=0
\left(y e^{x y} \cos (2 x)-2 e^{x y} \operatorname{sen}(2 x)+2 x\right) d x++\left(x e^{x y} \cos (2 x)-3\right) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
Esse é um problema de equação diferencial exata. Vamos verificar a exatidão e, em seguida, buscar uma função potencial
cuja diferencial total seja esse 1-forma.
Passo 2
Para testar exatidão, definimos
Calculamos
$$\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x y}\cos(2x)+x y e^{x y}\cos(2x)-2x e^{x y}\sin(2x).
$$
Como , a EDO é exata.
Como
Passo 3
Agora integramos
em relação a
mantendo
fixo:
Observando que
segue
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivando a expressão obtida em relação a
temos
Igualando a
, ou seja,
, obtemos
Passo 5
Portanto a função potencial é
e a solução geral da EDO fica na forma implícita