Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela interseção do cilindro x^2 + y^2 = 16 com o plano x + z = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela interseção do cilindro com o plano . Vamos precisar usar geometria analítica e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Esse cilindro tem raio 4 e está alinhado ao eixo z, já que não há termo envolvendo z na equação. Isso significa que para qualquer valor de z, a base do cilindro no plano xy é um círculo com raio 4.

Passo 3

Agora, o plano é um plano inclinado que corta o eixo z. Podemos resolver essa equação para z em termos de x:
Isso nos dá uma relação direta entre x e z que será útil na parametrização.

Passo 4

Para encontrar a equação vetorial, vamos parametrizar a curva de interseção. Sabemos que é um círculo, então podemos usar o parâmetro (theta) para representar a posição no círculo:
Onde varia de 0 a .

Passo 5

Usando a relação que encontramos para z no Passo 3, substituímos o valor de x na equação de z:
Agora, temos todas as coordenadas em termos de .

Resposta

A equação vetorial da curva de interseção é:

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