Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela interseção do cilindro
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela interseção do cilindro
com o plano
. Vamos precisar usar geometria analítica e vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Esse cilindro tem raio 4 e está alinhado ao eixo z, já que não há termo envolvendo z na equação. Isso significa que para qualquer valor de z, a base do cilindro no plano xy é um círculo com raio 4.
Passo 3
Agora, o plano
é um plano inclinado que corta o eixo z. Podemos resolver essa equação para z em termos de x:
Isso nos dá uma relação direta entre x e z que será útil na parametrização.
Passo 4
Para encontrar a equação vetorial, vamos parametrizar a curva de interseção. Sabemos que
é um círculo, então podemos usar o parâmetro
(theta) para representar a posição no círculo:
Onde
varia de 0 a
.
Passo 5
Usando a relação que encontramos para z no Passo 3, substituímos o valor de x na equação de z:
Agora, temos todas as coordenadas em termos de
.
Resposta
A equação vetorial da curva de interseção é: