(a) Esboce a curva com função vetorial
(b) Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve funções vetoriais, que são usadas para descrever curvas no espaço usando vetores. Precisamos fazer duas coisas aqui: primeiro, esboçar a curva definida pela função vetorial
para
. Segundo, encontrar as primeiras e segundas derivadas dessa função, ou seja,
e
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que cada componente representa na curva.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que é esboçar a curva da função vetorial. A função
tem três componentes:
,
e
. Isso significa que, para cada valor de
, a posição da curva no espaço é dada por essas três coordenadas.
- O componente
indica que à medida que aumenta, a coordenada também aumenta linearmente. - Os componentes
e descrevem um movimento circular no plano , já que , que é a equação de um círculo unitário.
Então, juntando tudo, a curva vai avançar no eixo
enquanto gira em torno do círculo no plano
. Isso forma uma hélice que se desenrola ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b), que é encontrar as derivadas
e
.
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a
.
Então, para
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto, a primeira derivada
é:
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando cada componente de
em relação a
:
- A derivada de
�� . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Assim, a segunda derivada
fica:
Resposta
(a) A curva é uma hélice que avança ao longo do eixo
enquanto gira no plano
.
(b) As derivadas são: