(a) Esboce a curva com função vetorial
r(t) = t i + cos(pi t) j + sen(pi t) k, t ≥ 0
(b) Encontre r'(t) e r''(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve funções vetoriais, que são usadas para descrever curvas no espaço usando vetores. Precisamos fazer duas coisas aqui: primeiro, esboçar a curva definida pela função vetorial para . Segundo, encontrar as primeiras e segundas derivadas dessa função, ou seja, e . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que cada componente representa na curva.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), que é esboçar a curva da função vetorial. A função tem três componentes: , e . Isso significa que, para cada valor de , a posição da curva no espaço é dada por essas três coordenadas.
  • O componente indica que à medida que aumenta, a coordenada também aumenta linearmente.
  • Os componentes e descrevem um movimento circular no plano , já que , que é a equação de um círculo unitário.
Então, juntando tudo, a curva vai avançar no eixo enquanto gira em torno do círculo no plano . Isso forma uma hélice que se desenrola ao longo do eixo .

Passo 3

Agora vamos para a parte (b), que é encontrar as derivadas e .
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a .
Então, para :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Portanto, a primeira derivada é:
Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando cada componente de em relação a :
  • A derivada de �� .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Assim, a segunda derivada fica:

Resposta

(a) A curva é uma hélice que avança ao longo do eixo enquanto gira no plano .
(b) As derivadas são:

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