Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela intersecção do cilindro
com o plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Esse cilindro é circular e tem raio 1, alinhado ao eixo z. Para descrever qualquer ponto nesse cilindro, podemos usar coordenadas paramétricas. Sabemos que em um círculo de raio 1, podemos representar x e y como:
onde
é o parâmetro que varia de 0 a
.
Passo 3
Agora que temos x e y em termos de
, vamos encontrar z. Para isso, usamos a equação do plano
. Substituímos x e y pelas expressões que encontramos:
Resolvendo para z:
Passo 4
Com as expressões para x, y e z em função de
, podemos escrever a equação vetorial da curva. Um vetor posição
que representa qualquer ponto na curva é dado por:
onde
,
e
são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.
Resposta
A equação vetorial que representa a curva de intersecção é: