Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano 3x + y + z = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial que represente a curva formada pela intersecção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano 3x + y + z = 5 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro x^2 + y^2 = 1 . Esse cilindro é circular e tem raio 1, alinhado ao eixo z. Para descrever qualquer ponto nesse cilindro, podemos usar coordenadas paramétricas. Sabemos que em um círculo de raio 1, podemos representar x e y como:
x = cos(theta)
y = sin(theta)
onde theta é o parâmetro que varia de 0 a 2pi .

Passo 3

Agora que temos x e y em termos de theta , vamos encontrar z. Para isso, usamos a equação do plano 3x + y + z = 5 . Substituímos x e y pelas expressões que encontramos:
3(cos(theta)) + sin(theta) + z = 5
Resolvendo para z:
z = 5 - 3cos(theta) - sin(theta)

Passo 4

Com as expressões para x, y e z em função de theta , podemos escrever a equação vetorial da curva. Um vetor posição r(theta) que representa qualquer ponto na curva é dado por:
r(theta) = cos(theta), i + sin(theta), j + (5 - 3cos(theta) - sin(theta)), k
onde i , j e k são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.

Resposta

A equação vetorial que representa a curva de intersecção é:
r(theta) = cos(theta), i + sin(theta), j + (5 - 3cos(theta) - sin(theta)), k, theta in [0, 2pi]

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