Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano 3y-z=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equações vetoriais que envolve a interseção entre um cilindro dado por x^2 + y^2 = 1 e um plano 3y - z = 5 . Nosso objetivo é encontrar uma equação vetorial que descreva essa curva de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro x^2 + y^2 = 1 . Esse é um cilindro circular reto com raio 1, cujo eixo está alinhado com o eixo z . Isso significa que para qualquer valor de z , a projeção no plano xy é um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano 3y - z = 5 . Queremos encontrar os pontos que satisfazem tanto a equação do cilindro quanto a do plano simultaneamente. Para fazer isso, podemos parametrizar uma das variáveis usando trigonometria, já que temos um círculo.

Passo 4

Vamos parametrizar x e y usando um ângulo theta . Sabemos que para um círculo de raio 1:
x = cos(theta)
y = sin(theta)
Aqui, theta varia de 0 a 2pi .

Passo 5

Com y = sin(theta) , podemos substituir esse valor na equação do plano para encontrar z :
3y - z = 5 Rightarrow 3sin(theta) - z = 5 Rightarrow z = 3sin(theta) - 5

Passo 6

Agora temos todas as componentes x , y e z em termos de theta . Podemos então escrever a equação vetorial da curva de interseção:
r(theta) = lang<= cos(theta), sin(theta), 3sin(theta) - 5 rang<=
Onde theta varia de 0 a 2pi .

Resposta

A equação vetorial que representa a curva de interseção é:
r(theta) = lang<= cos(theta),; sin(theta),; 3,sin(theta) - 5 rang<=
Onde theta in [0, 2pi) .

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