Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro
com o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equações vetoriais que envolve a interseção entre um cilindro dado por
e um plano
. Nosso objetivo é encontrar uma equação vetorial que descreva essa curva de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Esse é um cilindro circular reto com raio 1, cujo eixo está alinhado com o eixo
. Isso significa que para qualquer valor de
, a projeção no plano
é um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano
. Queremos encontrar os pontos que satisfazem tanto a equação do cilindro quanto a do plano simultaneamente. Para fazer isso, podemos parametrizar uma das variáveis usando trigonometria, já que temos um círculo.
Passo 4
Vamos parametrizar
e
usando um ângulo
. Sabemos que para um círculo de raio 1:
Aqui,
varia de
a
.
Passo 5
Com
, podemos substituir esse valor na equação do plano para encontrar
:
Passo 6
Agora temos todas as componentes
,
e
em termos de
. Podemos então escrever a equação vetorial da curva de interseção:
Onde
varia de
a
.
Resposta
A equação vetorial que representa a curva de interseção é:
Onde
.