Determine uma equação vetorial:
da reta r:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=1 \\\\ 3 x-2 y-z=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede uma equação vetorial da reta r dada pela interseção dos planos
2x - y + 3z = 1
3x - 2y - z = 0
É um problema de geometria analítica em \mathbb{R}^3. Para descrever a reta, precisamos de um ponto particular sobre ela e de um vetor direção.

Passo 2

Escolhemos z como parâmetro, escrevendo z = t. Substituindo em cada plano, obtemos o sistema em x e y:
2x - y + 3t = 1
3x - 2y - t = 0
Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo a segunda:
4x - 2y = 2 - 6t
\bigl(4x - 2y\bigr) - \bigl(3x - 2y\bigr) = (2 - 6t) - t
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x = 2 - 7t.
Substituindo em 2x - y = 1 - 3t
2(2 - 7t) - y = 1 - 3t \quad\Longrightarrow\quad y = 3 - 11t.

Passo 3

A parametrização ficou
x = 2 - 7t,\quad y = 3 - 11t,\quad z = t.
Para t=0 temos o ponto
P = (2,\,3,\,0),
e o vetor direção é dado pelos coeficientes de t:
\vec v = (-7,\,-11,\,1).

Passo 4

A equação vetorial da reta, usando o ponto P e o vetor direção \vec v, é
r:\;\vec r = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3 \\\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-7 \\\\ -11 \\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{r:\;\vec r = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3 \\\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-7 \\\\ -11 \\\\ 1\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}}

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