Utilizando o teorema de Rouché - Capelli, classificar e resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas: \{\begin{array}{c}2 x-y+z=4 \\\ x+2 y+z=1 \\\ x+y+2 z=3\end{array}\}\
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x - y + z = 4,\\\ x + 2y + z = 1,\\\ x + y + 2z = 3, \end{cases}
e pede para usar o teorema de Rouché–Capelli para classificar (sem solução, infinitas soluções ou solução única) e, quando houver, encontrar a solução. Para isso vamos montar a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes, calcular o posto (rank), aplicar o teorema e, se for caso, resolver por eliminação.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes A e o vetor b, além da matriz aumentada (A\mid b):
O teorema de Rouché–Capelli diz que o sistema tem solução se, e somente se, \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b). Se esse valor for igual ao número de incógnitas (3), a solução é única.
Passo 3
Calculamos o determinante de A para ver se \mathrm{rank}(A)=3:
Como \det(A)\neq0, temos \mathrm{rank}(A)=3. A matriz aumentada não pode ter posto maior que 3, logo \mathrm{rank}(A\mid b)=3. Pelo teorema de Rouché–Capelli, o sistema tem solução e ela é única.
Passo 4
Para encontrar essa solução, aplicamos eliminação de Gauss. Da segunda equação:
x = 1 - 2y - z.
Substituindo em (1) e (3) obtemos
2(1-2y-z)-y+z=4 \;\Rightarrow\;-5y - z = 2 \quad\text{e}\quad (1-2y-z)+y+2z=3 \;\Rightarrow\;-y+z=2.
Esses dois formam o sistema
\begin{cases} 5y + z = -2,\\\ y - z = -2. \end{cases}
Somando as equações dá 6y=-4, ou seja y=-\tfrac{2}{3}. Depois z = y+2 = -\tfrac{2}{3}+2 = \tfrac{4}{3}. Por fim