Utilizando o teorema de Rouché - Capelli, classificar e resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas:
\{\begin{array}{c}2 x-y+z=4 \\\ x+2 y+z=1 \\\ x+y+2 z=3\end{array}\}\

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x - y + z = 4,\\\ x + 2y + z = 1,\\\ x + y + 2z = 3, \end{cases}
e pede para usar o teorema de Rouché–Capelli para classificar (sem solução, infinitas soluções ou solução única) e, quando houver, encontrar a solução. Para isso vamos montar a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes, calcular o posto (rank), aplicar o teorema e, se for caso, resolver por eliminação.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e o vetor b, além da matriz aumentada (A\mid b):
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}, \quad (A\mid b)=\bigl[A\;\big|\;b\bigr].
O teorema de Rouché–Capelli diz que o sistema tem solução se, e somente se, \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b). Se esse valor for igual ao número de incógnitas (3), a solução é única.

Passo 3

Calculamos o determinante de A para ver se \mathrm{rank}(A)=3:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix} =2(4-1)+1(2-1)+1(1-2) =6+1-1=6\neq0.
Como \det(A)\neq0, temos \mathrm{rank}(A)=3. A matriz aumentada não pode ter posto maior que 3, logo \mathrm{rank}(A\mid b)=3. Pelo teorema de Rouché–Capelli, o sistema tem solução e ela é única.

Passo 4

Para encontrar essa solução, aplicamos eliminação de Gauss. Da segunda equação:
x = 1 - 2y - z.
Substituindo em (1) e (3) obtemos
2(1-2y-z)-y+z=4 \;\Rightarrow\;-5y - z = 2 \quad\text{e}\quad (1-2y-z)+y+2z=3 \;\Rightarrow\;-y+z=2.
Esses dois formam o sistema
\begin{cases} 5y + z = -2,\\\ y - z = -2. \end{cases}
Somando as equações dá 6y=-4, ou seja y=-\tfrac{2}{3}. Depois z = y+2 = -\tfrac{2}{3}+2 = \tfrac{4}{3}. Por fim
x = 1 - 2\!\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) - \tfrac{4}{3} = 1 + \tfrac{4}{3} - \tfrac{4}{3} = 1.

Resposta

O sistema tem solução única, dada por x = 1, y = -\tfrac{2}{3}, z = \tfrac{4}{3}.

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