Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (-1,1) e é paralela à reta x+2y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (-1,1) e que é paralela à reta dada pela equação x + 2y = 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e equações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que retas paralelas têm a mesma direção. Isso significa que elas compartilham o mesmo vetor diretor. Então, vamos encontrar o vetor diretor da reta x + 2y = 1.

Passo 3

Para achar o vetor diretor, vamos reescrever a equação da reta na forma explícita, isolando y:
x + 2y = 1 implies 2y = -x + 1 implies y = -12x + 12
A inclinação dessa reta é -12, o que nos dá uma ideia da direção. O vetor diretor pode ser construído a partir dos coeficientes angulares. Portanto, o vetor diretor v é:
v = 2 -1

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor da reta paralela, vamos usar o ponto dado (-1,1) para montar a equação vetorial da reta que queremos.
A equação vetorial de uma reta é dada por:
r = r0 + tv
Onde:
  • r0 é o vetor posição do ponto pelo qual a reta passa.
  • v é o vetor diretor da reta.
  • t é um parâmetro real.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na equação:
  • O ponto (-1,1) corresponde ao vetor posição r0 = -1 1 .
  • O vetor diretor v = 2 -1 .
Então, a equação vetorial fica:
r = -1 1 + t 2 -1

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = -1 1 + t 2 -1 , t in R

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