Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Determine um vetor paralelo à reta encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada pela equação . Além disso, precisamos achar um vetor que seja paralelo a essa nova reta. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre retas no plano, especialmente sobre como identificar retas perpendiculares e como escrever equações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta que a gente já tem: . Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma de , onde é o coeficiente angular (inclinação) da reta.
Vamos isolar o :
Então, a inclinação dessa reta é .
Passo 3
Agora, como queremos uma reta perpendicular a essa, precisamos saber que, no plano cartesiano, duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Isso significa que a inclinação da reta perpendicular, que vamos chamar de , é o negativo do inverso de .
Então:
Portanto, a inclinação da reta que queremos é .
Passo 4
Com a inclinação da nova reta e sabendo que ela passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta ponto-inclinação, que é:
Onde é o ponto dado e é a inclinação. Substituindo os valores:
Vamos deixar essa equação mais arrumadinha:
Passo 5
Agora, vamos escrever a equação vetorial dessa reta. A equação vetorial de uma reta no plano é dada por:
Onde é o vetor posição de um ponto na reta (no caso, ), é um vetor diretor da reta (paralelo à reta) e é um parâmetro real.
Sabendo que a inclinação da reta é , podemos escolher o vetor diretor como , já que a razão entre as componentes y/x é 23.
Então, a equação vetorial fica:
r = 1 1 + t 3 2
Resposta
A equação vetorial da reta é r = 1 1 + t 3 2 , e um vetor paralelo à reta é 3 2 .