Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e é perpendicular à reta 3x+2y=4. Determine um vetor paralelo à reta encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto (1,1) e que é perpendicular à reta dada pela equação 3x + 2y = 4. Além disso, precisamos achar um vetor que seja paralelo a essa nova reta. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre retas no plano, especialmente sobre como identificar retas perpendiculares e como escrever equações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que a gente já tem: 3x + 2y = 4. Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma de y = mx + b, onde m é o coeficiente angular (inclinação) da reta.
Vamos isolar o y:
3x + 2y = 4 2y = -3x + 4 y = -32x + 2
Então, a inclinação dessa reta é m = -32.

Passo 3

Agora, como queremos uma reta perpendicular a essa, precisamos saber que, no plano cartesiano, duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1. Isso significa que a inclinação da reta perpendicular, que vamos chamar de mperp, é o negativo do inverso de m.
Então:
mperp = -1m = -1-32 = 23
Portanto, a inclinação da reta que queremos é 23.

Passo 4

Com a inclinação da nova reta e sabendo que ela passa pelo ponto (1,1), podemos usar a fórmula da equação da reta ponto-inclinação, que é:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto dado e m é a inclinação. Substituindo os valores:
y - 1 = 23(x - 1)
Vamos deixar essa equação mais arrumadinha:
y = 23x - 23 + 1 y = 23x + 13

Passo 5

Agora, vamos escrever a equação vetorial dessa reta. A equação vetorial de uma reta no plano é dada por:
r = r0 + tv
Onde r0 é o vetor posição de um ponto na reta (no caso, (1,1)), v é um vetor diretor da reta (paralelo à reta) e t é um parâmetro real.
Sabendo que a inclinação da reta é 23, podemos escolher o vetor diretor como v = 3 2 , já que a razão entre as componentes y/x é 23.
Então, a equação vetorial fica:
r = 1 1 + t 3 2

Resposta

A equação vetorial da reta é r = 1 1 + t 3 2 , e um vetor paralelo à reta é 3 2 .

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