1. Determine se a transformação:
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)
é invertível.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
Pergunta: determinar se T é invertível (isto é, se existe uma transformação T^{-1} tal que T^{-1}\circ T seja a identidade).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de T. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo lógico: perceber que T é uma transformação linear (cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z). Vou explicar por que isso importa de forma bem didática.
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz A tal que, para o vetor coluna v=(x,y,z)^T,
T(v)=A v.
A transformação é invertível se, e somente se, a matriz A for invertível (ou seja, tiver determinante diferente de zero). Explicando devagar: matriz invertível significa que existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I; isso garante que para todo vetor de saída existe um único vetor de entrada que o gera (injetividade e sobrejetividade), portanto há inversa.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Como
T(x,y,z)=(1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z,\;0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z,\;1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z),
a matriz associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(Para entender: cada coluna de A é a imagem dos vetores da base canônica. Por exemplo, T(1,0,0)=(1,0,1)^T, que é a primeira coluna.)]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Vou fazer expansão pela primeira linha (mostrando cada conta sem pular etapas):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det(\cdots).
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 1 -1\cdot(-1) + 0 = 1 + 1 = 2.
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A é invertível.]

Passo 5

Interpretação final: já que a matriz A associada a T tem determinante diferente de zero, a transformação linear T é invertível. Em termos conceituais: determinante não nulo implica que as colunas de A são linearmente independentes, o que garante que T é injetora; para transformações entre espaços vetoriais de mesma dimensão, injetividade implica bijetividade, logo existe inversa.

Passo 6

Além de responder “sim”, é útil (e prático para a prova) obter explicitamente a inversa T^{-1}\). Para isso resolvemos o sistema \[\begin{cases} u = x+y,\\[4pt] v = y+z,\\[4pt] w = x+z, \end{cases}
onde (u,v,w)=T(x,y,z)\]. Vamos isolar \(x,y,z em função de u,v,w. Somando a primeira e a segunda equações e comparando com a terceira:
u+v = x+2y+z = (x+z)+2y = w + 2y.
Logo
2y = u+v-w \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u+v-w}{2}.
Agora x=u-y, então
x = u - \frac{u+v-w}{2} = \frac{2u - (u+v-w)}{2} = \frac{u - v + w}{2}.
E z=v-y, logo
z = v - \frac{u+v-w}{2} = \frac{-u + v + w}{2}.
Portanto a inversa é
T^{-1}(u,v,w)=\left(\frac{u - v + w}{2},\;\frac{u + v - w}{2},\;\frac{-u + v + w}{2}\right).]

Resposta

Sim, T é invertível.
A inversa é T^{-1}(u,v,w)=\left(\dfrac{u - v + w}{2},\;\dfrac{u + v - w}{2},\;\dfrac{-u + v + w}{2}\right).

Exercícios relacionados