Pergunta: determinar se T é invertível (isto é, se existe uma transformação T^{-1} tal que T^{-1}\circ T seja a identidade).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de T. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Primeiro passo lógico: perceber que T é uma transformação linear (cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z). Vou explicar por que isso importa de forma bem didática.
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz A tal que, para o vetor coluna v=(x,y,z)^T,
T(v)=A v.
A transformação é invertível se, e somente se, a matriz A for invertível (ou seja, tiver determinante diferente de zero). Explicando devagar: matriz invertível significa que existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I; isso garante que para todo vetor de saída existe um único vetor de entrada que o gera (injetividade e sobrejetividade), portanto há inversa.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Como
T(x,y,z)=(1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z,\;0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z,\;1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z),
Interpretação final: já que a matriz A associada a T tem determinante diferente de zero, a transformação linear T é invertível. Em termos conceituais: determinante não nulo implica que as colunas de A são linearmente independentes, o que garante que T é injetora; para transformações entre espaços vetoriais de mesma dimensão, injetividade implica bijetividade, logo existe inversa.
Passo 6
Além de responder “sim”, é útil (e prático para a prova) obter explicitamente a inversa T^{-1}\). Para isso resolvemos o sistema
\[\begin{cases} u = x+y,\\[4pt] v = y+z,\\[4pt] w = x+z, \end{cases}
onde (u,v,w)=T(x,y,z)\]. Vamos isolar \(x,y,z em função de u,v,w. Somando a primeira e a segunda equações e comparando com a terceira: