Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
(e^x sen y-2 y sen x) d x+(e^x cos y+2 cos x) d y= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
l(e^xsin y - 2ysin xr),dx ;+;l(e^xcos y + 2cos xr),dy = 0
é exata. O conteúdo é “equações diferenciais exatas”: definimos
M(x,y)=e^xsin y - 2ysin x, N(x,y)=e^xcos y + 2cos x,
testamos se partial M/partial y = partial N/partial x. Se for exata, buscamos Psi(x,y) tal que
Psix = M, Psiy = N,
e a solução geral será Psi(x,y)=C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(e^xsin yr) - 2sin x = e^xcos y - 2sin x,
partial Npartial x = partialpartial xl(e^xcos yr) + 2ddx(cos x) = e^xcos y - 2sin x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, concluímos que a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar Psi(x,y), integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integrall(e^xsin y - 2ysin xr),dx = e^xsin y + 2ycos x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 4

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
partial Psipartial y = e^xcos y + 2cos x + h'(y) stackrel!= e^xcos y + 2cos x,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
e^xsin y + 2ycos x = C

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