Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
d yd x=a x+b yc x+d y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=a x+b yc x+d y
e pede para decidir quando ela é exata e, nesse caso, encontrar a solução. O conteúdo que vamos usar é o conceito de EDO exata: reescrevemos a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificamos se existe uma função phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por dx e rearranjamos para ficar
(a x + b y),dx ;-;(c x + d y),dy ;=;0
Dessa forma identificamos
M(x,y) = a x + b y, N(x,y) = -l(c x + d yr)

Passo 3

A condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=; partial Npartial x
Se isso vale, existe phi(x,y) com dphi = M,dx + N,dy.

Passo 4

Calculamos
partial Mpartial y = b, partial Npartial x = -c
Logo a igualdade partial M/partial y = partial N/partial x exige
b = -,c Long<=ftrightarrow b + c = 0

Passo 5

Concluímos que a EDO é exata precisamente quando
b + c = 0
A partir de agora assumimos essa condição e achamos phi.

Passo 6

Procuramos phi(x,y) tal que
phix = M = a x + b y
Integramos em x:
phi(x,y) = integral (a x + b y),dx = a2,x^2 + b,x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 7

Agora impomos phiy = N = -l(c x + d yr). Como c=-b, temos
N = -l(-b,x + d,yr) = b,x - d,y
Por outro lado,
phiy = b,x + h'(y)
Comparando os dois,
b,x + h'(y) = b,x - d,y Longrightarrow h'(y) = -,d,y Longrightarrow h(y) = -d2,y^2

Passo 8

Assim a função potencial é
phi(x,y) = a2,x^2 + b,x,y - d2,y^2
A solução geral implícita da EDO exata é
phi(x,y) = C,
ou seja
a2,x^2 + b,x,y - d2,y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata se, e só se,
b + c = 0
Nesse caso a solução geral é
a2,x^2 + b,x,y - d2,y^2 = C

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