Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para decidir quando ela é exata e, nesse caso, encontrar a solução. O conteúdo que vamos usar é o conceito de EDO exata: reescrevemos a EDO na forma
e verificamos se existe uma função
tal que
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
e rearranjamos para ficar
Dessa forma identificamos
Passo 3
A condição de exatidão é
Se isso vale, existe
com
.
Passo 4
Calculamos
Logo a igualdade
exige
Passo 5
Concluímos que a EDO é exata precisamente quando
A partir de agora assumimos essa condição e achamos
.
Passo 6
Procuramos
tal que
Integramos em
:
onde
é função a determinar.
Passo 7
Agora impomos
. Como
, temos
Por outro lado,
Comparando os dois,
Passo 8
Assim a função potencial é
A solução geral implícita da EDO exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata se, e só se,
Nesse caso a solução geral é