Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar se ela é exata e, se for, achar a solução geral. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: vamos reescrever no formato
verificar a condição de exatidão
e, em caso positivo, encontrar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro trazemos tudo para um lado:
Isto equivale a
ou seja, identificamos
Passo 3
Agora verificamos a condição de exatidão:
Como
, temos
logo a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função “constante” em
.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Dessa igualdade vem
, ou seja
.
Resposta
A equação é exata e a solução implícita geral é