Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
2 x cos y+(x-x^2 sen y) d yd x=-y+x^4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2xcos y + l(x - x^2sin yr)dydx = -y + x^4
e pede para identificar se ela é exata e, se for, achar a solução geral. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: vamos reescrever no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
verificar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e, em caso positivo, encontrar a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Primeiro trazemos tudo para um lado:
2xcos y + l(x - x^2sin yr)dydx + y - x^4 = 0
Isto equivale a
l(2xcos y + y - x^4r),dx + l(x - x^2sin yr),dy = 0,
ou seja, identificamos
M(x,y) = 2xcos y + y - x^4, N(x,y) = x - x^2sin y

Passo 3

Agora verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = -2xsin y + 1, partial Npartial x = 1 - 2xsin y
Como -2xsin y + 1 = 1 - 2xsin y, temos
partial Mpartial y = partial Npartial x,
logo a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partialphipartial x = M(x,y), partialphipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral l(2xcos y + y - x^4r),dx = x^2cos y + xy - x^55 + h(y),
onde h(y) é função “constante” em x.

Passo 5

Para determinar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
partialphipartial y = -x^2sin y + x + h'(y) stackrel!= x - x^2sin y
Dessa igualdade vem h'(y)=0, ou seja h(y)=constante.

Resposta

A equação é exata e a solução implícita geral é
x^2cos y + xy - x^55 = C

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