Resolva o problema de valor inicial
(2 x-y)+(2 y-x) d yd x=0, y(1)=3
e determine, aproximadamente, onde a solução é valida.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2x - y) + (2y - x),dydx = 0,
com condição inicial y(1)=3.
O conteúdo é resolução de EDO homogênea de grau 1 em x,y, usando a substituição y=ux para transformar em variável u(x) e então separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma
(2y - x),dydx = -(2x - y) Longrightarrow dydx = -2x - y2y - x
Como 2x - y e 2y - x são funções homogêneas de grau 1, fazemos
y = u,x Longrightarrow dydx = u + x,dudx
Substituindo na EDO:
u + x,dudx = -2x - u x2u x - x = -2 - u2u - 1

Passo 3

Isolamos x,du/dx:
x,dudx = -2 - u2u - 1 - u = -2(u^2 - u + 1)2u - 1
Isso é separável:
2u - 1u^2 - u + 1,du = -2,dxx
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo reconhecemos d(u^2 - u +1)= (2u-1),du, logo
integral 2u - 1u^2 - u +1,du = lnl(u^2 - u +1r), integral -2,dxx = -2ln|x| + C
Ficamos com
lnl(u^2 - u +1r) = -2ln|x| + C ;Longrightarrow; u^2 - u +1 = C1x^2

Passo 4

Voltando a y = u x, temos
l(yxr)^2 - yx +1 = C1x^2 ;Longrightarrow; y^2 - x,y + x^2 = C1
Usando y(1)=3
3^2 - 1cdot 3 + 1^2 = 9 - 3 + 1 = 7,
portanto C1 = 7. A solução implícita é
y^2 - x,y + x^2 = 7

Passo 5

Para obter y isolado, resolvemos a quadrática em y:
y^2 - x,y + (x^2 -7)=0 ;Longrightarrow; y = x pm raizx^2 -4(x^2 -7)2 = x pm raiz28 -3x^22
Como y(1)=3, escolhemos o sinal “ +”, pois
l(1 + raiz25r)/2=3. Logo
boxedy(x) = x + raiz28 -3x^22

Passo 6

A solução é real e suave enquanto o radicando e o denominador da EDO original não se anularem. Do radicando:
28 - 3x^2 >= 0 ;Longrightarrow; x^2 <= 283 ;Longrightarrow; |x| <= raiztfrac283approx 3,055
Nesse ponto também 2y - xneq0 até x^2=28/3. Portanto o intervalo de validade que contém x=1 é
-raiztfrac283 < x < raiztfrac283,
ou seja aproximadamente -3,055 < x < 3,055.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = x + raiz28 -3x^22,
válida enquanto
|x| < raiztfrac283approx 3,055

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