Resolva o problema de valor inicial
e determine, aproximadamente, onde a solução é valida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
O conteúdo é resolução de EDO homogênea de grau 1 em , usando a substituição
para transformar em variável
e então separação de variáveis.
O conteúdo é resolução de EDO homogênea de grau 1 em
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma
Como
e
são funções homogêneas de grau 1, fazemos
Substituindo na EDO:
Passo 3
Isolamos
:
Isso é separável:
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo reconhecemos
, logo
Ficamos com
Passo 4
Voltando a
, temos
Usando
dá
portanto
. A solução implícita é
Passo 5
Para obter
isolado, resolvemos a quadrática em
:
Como
, escolhemos o sinal “
”, pois
. Logo
Passo 6
A solução é real e suave enquanto o radicando e o denominador da EDO original não se anularem. Do radicando:
Nesse ponto também
até
. Portanto o intervalo de validade que contém
é
ou seja aproximadamente
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
válida enquanto