Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
(2 x+4 y)+(2 x-2 y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a equação dada é exata e, caso seja, encontrar uma solução. A equação é:
(2 x+4 y)+(2 x-2 y) y^{\prime}=0.
Informações fornecidas (identificadas a partir da equação):
  • Escrever em forma diferencial: (2x+4y)\,dx+(2x-2y)\,dy=0.
  • Identificamos M(x,y)=2x+4y, \qquad N(x,y)=2x-2y.
O objetivo agora é testar se a forma diferencial M\,dx+N\,dy=0 é exata; se for, encontrar a função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N, e então a solução implícita \psi(x,y)=C.

Passo 2

Conceito e teste de exatidão (explicação didática):
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em uma região se existir uma função \psi(x,y) com derivadas parciais contínuas tais que \psi_x(x,y)=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \psi_y(x,y)=N(x,y).
  • Uma condição prática (teste) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Cálculo das derivadas parciais para os M e N identificados:
  • Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}: \frac{\partial}{\partial y}\big(2x+4y\big)=4.
  • Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}: \frac{\partial}{\partial x}\big(2x-2y\big)=2.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=4 \neq 2=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a condição de exatidão falha — a equação não é exata na forma dada.

Passo 3

Verificação de fatores integrantes simples (explicação didática e cálculo):
  • Às vezes uma equação não exata pode tornar-se exata multiplicando-se por um fator integrante \mu. Os casos mais simples são \mu=\mu(x) (função só de x) ou \mu=\mu(y) (função só de y).
  • Critério prático para \mu(x): se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} for função apenas de x, então existe \mu(x).
  • Critério prático para \mu(y): se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} for função apenas de y, então existe \mu(y).
Calcular as duas quantidades:
  • Primeiro, \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{4-2}{2x-2y} =\frac{2}{2(x-y)} =\frac{1}{x-y},que depende de x e y (mais precisamente depende da combinação x-y), logo não é função apenas de x.
  • Segundo, \frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2-4}{2x+4y} =\frac{-2}{2(x+2y)} =\frac{-1}{x+2y},que também depende de x e y (da combinação x+2y), logo não é função apenas de y.
Conclusão dessas verificações: não existe um fator integrante dependente apenas de x nem apenas de y segundo esses critérios simples.

Passo 4

Conclusão final e observação prática:
  • A equação dada não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}.
  • Também não admite, pelos testes simples acima, um fator integrante que dependa somente de x ou somente de y.
  • Observação útil para a prova (não pedida, mas prática): a equação é homogênea (ambos M e N são de grau 1), portanto pode ser resolvida por substituição y=vx se for necessário obter a solução da ODE em si — mas como o enunciado pedia só verificar exatidão e resolver quando exata, a conclusão principal é que ela não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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