Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a equação dada é exata e, caso seja, encontrar uma solução. A equação é:
Informações fornecidas (identificadas a partir da equação):
- Escrever em forma diferencial:
. - Identificamos
O objetivo agora é testar se a forma diferencial
é exata; se for, encontrar a função potencial
tal que
e
, e então a solução implícita
.
Passo 2
Conceito e teste de exatidão (explicação didática):
- Uma equação diferencial na forma
é exata em uma região se existir uma função com derivadas parciais contínuas tais que - Uma condição prática (teste) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Cálculo das derivadas parciais para os
e
identificados:
- Calcular
: - Calcular
:
Comparando:
Portanto a condição de exatidão falha — a equação não é exata na forma dada.
Passo 3
Verificação de fatores integrantes simples (explicação didática e cálculo):
- Às vezes uma equação não exata pode tornar-se exata multiplicando-se por um fator integrante
. Os casos mais simples são (função só de ) ou (função só de ). - Critério prático para
: se for função apenas de , então existe . - Critério prático para
: se for função apenas de , então existe .
Calcular as duas quantidades:
- Primeiro,
que depende de e (mais precisamente depende da combinação ), logo não é função apenas de . - Segundo,
que também depende de e (da combinação ), logo não é função apenas de .
Conclusão dessas verificações: não existe um fator integrante dependente apenas de
nem apenas de
segundo esses critérios simples.
Passo 4
Conclusão final e observação prática:
- A equação dada não é exata, pois
. - Também não admite, pelos testes simples acima, um fator integrante que dependa somente de
ou somente de . - Observação útil para a prova (não pedida, mas prática): a equação é homogênea (ambos
e são de grau 1), portanto pode ser resolvida por substituição se for necessário obter a solução da ODE em si — mas como o enunciado pedia só verificar exatidão e resolver quando exata, a conclusão principal é que ela não é exata.
Resposta
A equação não é exata.