Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se
é um subespaço próprio de
.
Verifique se
Passo 1
O enunciado toma
, o espaço de todos os polinômios de grau
, e
Queremos achar, em coordenadas, as equações que caracterizam
como subconjunto de
e verificar se ele é um subespaço próprio de
.
Passo 2
Escrevamos um polinômio genérico de
com
. Se
, então existem
tais que
Comparando coeficientes em
, obtemos
Dessas equações segue
, ,
,
mostrando que, para qualquer
, podemos escolher
que realize a combinação.
Passo 3
Como todo
(c0,c1,c2)inR^3 aparece em alguma combinação
alpha,t^2+beta(t+1)+gamma,t , concluímos que
Logo não há nenhuma equação não-trivial que restrinja
(c0,c1,c2) : o conjunto de soluções é todo
R^3 .
Passo 4
Portanto
W5 é de fato um subespaço de
V5 , mas como
W5=V5 , ele não é um subespaço próprio.
Resposta
As equações de definição de
W5 são triviais (não há restrição sobre
(c0,c1,c2) ), pois
e assim
W5 não é um subespaço próprio de
V5 .