Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se Wi é um subespaço próprio de Vi.
V5=P2(R), W5=[t^2, t+1, t]

Passo 1

O enunciado toma
V5=P2(R), o espaço de todos os polinômios de grau <=2, e
W5=span,t^2,,t+1,,t
Queremos achar, em coordenadas, as equações que caracterizam W5 como subconjunto de V5 e verificar se ele é um subespaço próprio de V5.

Passo 2

Escrevamos um polinômio genérico de
com . Se , então existem tais que
Comparando coeficientes em , obtemos
Dessas equações segue
, ,
mostrando que, para qualquer , podemos escolher que realize a combinação.

Passo 3

Como todo (c0,c1,c2)inR^3 aparece em alguma combinação alpha,t^2+beta(t+1)+gamma,t, concluímos que
W5=P2(R)
Logo não há nenhuma equação não-trivial que restrinja (c0,c1,c2): o conjunto de soluções é todo R^3.

Passo 4

Portanto W5 é de fato um subespaço de V5, mas como W5=V5, ele não é um subespaço próprio.

Resposta

As equações de definição de W5 são triviais (não há restrição sobre (c0,c1,c2)), pois
W5=P2(R),
e assim W5 não é um subespaço próprio de V5.

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