y^prime prime-2 y^prime=e^2 x+5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 2y' = e^2x + 5
que é linear de segunda ordem sem termo em y. Para resolver, vamos reduzir a ordem definindo
p(x) = y'(x)
e, em seguida, resolver a equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Substituindo y'=p e y''=p' na equação, obtemos a equação de primeira ordem
p' - 2p = e^2x + 5

Passo 3

É uma EDO linear em p. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x
Multiplicando a equação por mu(x), temos
e^-2xp' - 2e^-2xp = l(e^2x+5r)e^-2x Longrightarrow ddxl(e^-2xpr) = 1 + 5e^-2x
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^-2xp = integrall(1 + 5e^-2xr),dx = x - 52e^-2x + C1
Multiplicando por e^2x, obtemos
p = y' = x,e^2x - 52 + C1e^2x

Passo 4

Agora integramos y' para encontrar y:
y = integral y',dx = integrall(xe^2x - tfrac52 + C1e^2xr),dx

Passo 5

Calculemos cada integral:
integral x e^2x,dx = e^2x2l(x - tfrac12r), integral e^2x,dx = 12e^2x, integral 1,dx = x
Logo,
y = e^2x2l(x - tfrac12r) - 52x + C1e^2x2 + C2

Passo 6

Agrupando os termos exponenciais em uma constante única A e chamando a outra constante de B, obtemos a forma simplificada da solução geral:
y(x) = x2e^2x + A,e^2x - 52x + B,
onde A e B são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

boxedy(x)=x2e^2x+A,e^2x-52x+B, A,BinR

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