Determine as equações cartesianas das curvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas.
r3(t)=(2 cos t, 2 sen t), t in[pi2, 3 pi2].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
r3(t) = (x(t),y(t)) = (2cos t,;2sen t), tinl[pi2,3pi2r]
e pede (i) a equação cartesiana e (ii) o esboço. Vamos usar a identidade trigonométrica cos^2t+sen^2t=1 para obter a relação entre x e y.

Passo 2

A partir de x=2cos t e y=2sen t temos
cos t = x2, sen t = y2
Substituindo na identidade
cos^2t+sen^2t=1
vem
l(tfracx2r)^2 + l(tfracy2r)^2 = 1 Longrightarrow x^24 + y^24 = 1 Longrightarrow x^2 + y^2 = 4

Passo 3

Agora impomos a restrição do parâmetro: para
tinl[tfracpi2,tfrac3pi2r]
temos cos t<=0. Como x=2cos t, isso implica
x <= 0
Logo a curva é o semicírculo de raio 2 centrado na origem, mas apenas a parte com x<=0.

Passo 4

Esboço: é o semicírculo esquerdo de raio 2, unindo o ponto (0,2) a (0,-2) passando por (-2,0).

Resposta

A equação cartesiana é
x^2 + y^2 = 4, x <= 0
O gráfico é um semicírculo de raio 2 à esquerda do eixo y.

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