Determine as equações cartesianas das curvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas.
r4(t)=(2 cos t, 3 sen t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
vec r4(t) = (2cos t,,3sen t) para tin[0,2pi]
e pede a equação cartesiana da curva e seu esboço. O conteúdo aqui é eliminação do parâmetro usando a identidade trigonométrica sin^2t+cos^2t=1.

Passo 2

Escrevemos as componentes em função de t:
x = 2cos t, y = 3sen t
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cos t = x2, sen t = y3

Passo 3

Aplicando sen^2t + cos^2t = 1, obtemos
l(y3r)^2 + l(x2r)^2 = 1

Passo 4

Reescrevendo de forma convencional, a equação cartesiana é
x^22^2 + y^23^2 = 1,
ou seja
x^24 + y^29 = 1
Isso descreve uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal a=2 e vertical b=3. O esboço é uma elipse que intercepta os eixos em (pm2,0) e (0,pm3).

Resposta

x^24 + y^29 = 1,
elipse de semi-eixos 2 e 3 centrada na origem.

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