Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico dos pontos cujos coeficientes angulares das retas que os ligam aos pontos (3,2) e (3,3) têm produto -2 .

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que o produto dos coeficientes angulares das retas PA e PB, onde A=(3,2) e B=(3,3), vale -2. O conteúdo aqui é a manipulação de equações de retas e determinação de um lugar geométrico (conica).

Passo 2

Chame de m_1 o coeficiente angular de PA e de m_2 o coeficiente angular de PB. Então
m_1 = \frac{y-2}{x-3}, \quad m_2 = \frac{y-3}{x-3}.
O enunciado impõe
m_1 \cdot m_2 = -2.

Passo 3

Substituindo os valores de m_1 e m_2 na condição do produto, obtém-se
\frac{y-2}{x-3}\;\cdot\;\frac{y-3}{x-3} = -2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y-2)(y-3)}{(x-3)^2} = -2.

Passo 4

Multiplicando por (x-3)^2 e reorganizando, vem
(y-2)(y-3) + 2\,(x-3)^2 = 0
e, em forma expandida,
2x^2 + y^2 -12x -5y +24 = 0.

Passo 5

Na forma geral Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0, temos A=2, B=0, C=1. O discriminante é
\Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4\cdot2\cdot1 = -8 < 0,
logo trata-se de uma elipse alinhada aos eixos.

Passo 6

Para achar o centro (x_0,y_0) da elipse, resolvemos
\frac{\partial}{\partial x}(2x^2 -12x + \dots) = 4x -12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = 3,
\frac{\partial}{\partial y}(y^2 -5y + \dots) = 2y -5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = \tfrac{5}{2}.

Passo 7

Mudando para coordenadas centradas X = x-3, Y = y-\tfrac{5}{2}, a equação fica
2X^2 + Y^2 = \tfrac14,
isto é
\frac{X^2}{\tfrac{1}{8}} + \frac{Y^2}{\tfrac{1}{4}} = 1.
Portanto os semi-eixos são
a = \sqrt{\tfrac{1}{4}} = \tfrac12 \quad(\text{vertical}), \qquad b = \sqrt{\tfrac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt2} \quad(\text{horizontal}).

Passo 8

Esboço da elipse: centro em (3,\tfrac52), eixo maior vertical de comprimento 1 (de y=2 a y=3), eixo menor horizontal de comprimento \tfrac{1}{\sqrt2}. Note que em x=3 a equação original exige excluir os pontos y=2 e y=3 (pois aí as retas ficariam verticais e os coeficientes angulares não existem).

Resposta

Equação do lugar geométrico:
2x^2 + y^2 -12x -5y +24 = 0,
que é uma elipse centrada em \bigl(3,\tfrac52\bigr) com semi-eixos \tfrac12 na vertical e \tfrac{1}{2\sqrt2} na horizontal (excluindo os pontos (3,2) e (3,3)).

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