Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico dos pontos cujos coeficientes angulares das retas que os ligam aos pontos
e
têm produto -2 .
Lugar geométrico dos pontos cujos coeficientes angulares das retas que os ligam aos pontos
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que o produto dos coeficientes angulares das retas
e
, onde
e
, vale
. O conteúdo aqui é a manipulação de equações de retas e determinação de um lugar geométrico (conica).
Passo 2
Chame de
o coeficiente angular de
e de
o coeficiente angular de
. Então
O enunciado impõe
Passo 3
Substituindo os valores de
e
na condição do produto, obtém-se
Passo 4
Multiplicando por
e reorganizando, vem
e, em forma expandida,
Passo 5
Na forma geral
, temos
,
,
. O discriminante é
logo trata-se de uma elipse alinhada aos eixos.
Passo 6
Para achar o centro
da elipse, resolvemos
Passo 7
Mudando para coordenadas centradas
,
, a equação fica
isto é
Portanto os semi-eixos são
Passo 8
Esboço da elipse: centro em
, eixo maior vertical de comprimento
(de
a
), eixo menor horizontal de comprimento
. Note que em
a equação original exige excluir os pontos
e
(pois aí as retas ficariam verticais e os coeficientes angulares não existem).
Resposta
Equação do lugar geométrico:
que é uma elipse centrada em
com semi-eixos
na vertical e
na horizontal (excluindo os pontos
e
).