Resolver a equação diferencial proposta, pelo método de separação de variáveis:
f. y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y' = \frac{x^{2}}{1+y^{2}}.
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem separável: vamos isolar todas as parcelas em y de um lado e em x de outro antes de integrar.

Passo 2

Escrevemos a derivada como \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}} e multiplicamos ambos os lados por (1+y^{2})\,dx, obtendo
(1+y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Integramos cada membro:
\int (1+y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais, vem
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
sendo C a constante de integração. Multiplicando tudo por 3 para simplificar, chega-se a
3y + y^{3} = x^{3} + C',
onde C'=3C é outra constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
ou equivalentemente
y^{3} + 3y = x^{3} + C'.

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