Determine se as equações diferenciais dadas são exatas. Caso sejam exatas, resolva.
(sen y-y sen x) d x+(cos x+x cos y-y) d y=0 x sen y+y cos x-12 y^2=c

Passo 1

Temos a EDO (sin y - ysin x),dx + (cos x + xcos y - y),dy = 0. Definimos M(x,y)=sin y - ysin x e N(x,y)=cos x + xcos y - y. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos checar a condição de exatidão.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar a exatidão.

Passo 3

partial Mpartial y=cos y-sin x e partial Npartial x=-sin x+cos y. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x:

Passo 5

phi(x,y)=integral(sin y - ysin x),dx = xsin y + ycos x + h(y)

Passo 6

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N para encontrar h(y):

Passo 7

phiy = xcos y + cos x + h'(y) = cos x + xcos y - y

Passo 8

Logo h'(y)=-y, integrando dá h(y)=-tfrac12y^2.

Passo 9

Substituindo em phi, obtemos a solução implícita:

Resposta

xsin y + ycos x - tfrac12y^2 = C

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