Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(raizx cos (x^2) e^(raizx)^3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raizx,cosl(x^2r),e^(raizx)^3
usando regras de derivada conhecidas: potência, exponencial, cosseno, produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
raizx=x^1/2, (raizx)^3=x^3/2,
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f(x)=x^1/2,cos(x^2),e^x^3/2
Definimos
u(x)=x^1/2, v(x)=cos(x^2), w(x)=e^x^3/2

Passo 3

Derivada de u(x)=x^1/2 pela regra da potência:
u'(x)=tfrac12,x^-1/2

Passo 4

Derivada de v(x)=cos(x^2) pela regra da cadeia e de cos:
v'(x)=-sin(x^2)cdotddx(x^2) =-sin(x^2)cdot2x =-2x,sin(x^2)

Passo 5

Derivada de w(x)=e^x^3/2 pela regra da cadeia e de e^u:
w'(x)=e^x^3/2cdotddx(x^3/2) =e^x^3/2cdottfrac32,x^1/2 =tfrac32,x^1/2,e^x^3/2

Passo 6

Aplicamos a regra do produto para três fatores:
ddxl(u,v,wr) =u',v,w ;+;u,v',w;+;u,v,w'

Passo 7

Substituindo cada termo:
f'(x) &=tfrac12,x^-1/2,cos(x^2),e^x^3/2 +x^1/2l(-2xsin(x^2)r),e^x^3/2 &+x^1/2,cos(x^2);tfrac32,x^1/2,e^x^3/2 &=e^x^3/2l(tfrac12,x^-1/2cos(x^2) -2x^3/2sin(x^2) +tfrac32,xcos(x^2)r)

Passo 8

Opcionalmente, fatoramos x^-1/2 em comum:
f'(x) =e^x^3/2,x^-1/2l(tfrac12(1+3x^2)cos(x^2) -2x^2sin(x^2)r)

Resposta

f'(x) =e^x^3/2l(tfrac12,x^-1/2cos(x^2) -2x^3/2sin(x^2) +tfrac32,xcos(x^2)r)

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