Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(1+x^2-x tan (x)e^x+e^-x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=1 + x^2 - x,tan(x)e^x + e^-x
O conteúdo envolve as derivadas básicas, a linearidade da derivada, a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos o numerador N(x) e o denominador D(x):
N(x)=1 + x^2 - x,tan(x), D(x)=e^x+e^-x
Usaremos a regra do quociente:
f'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)l(D(x)r)^2

Passo 3

Calculamos N'(x) por linearidade e regra do produto em -xtan(x):
ddxl(1r)=0, ddxl(x^2r)=2x,
ddxl(xtan(x)r) =underbrace1d(x)/dxtan(x) +underbracexfixosec^2(x) =tan(x)+x,sec^2(x)
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N'(x)=2x-l(tan(x)+x,sec^2(x)r) =2x-tan(x)-x,sec^2(x)

Passo 4

Calculamos D'(x):
ddxl(e^xr)=e^x, ddxl(e^-xr)=-e^-x,
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D'(x)=e^x-e^-x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =l(2x-tan(x)-x,sec^2(x)r),(e^x+e^-x) -l(1+x^2-xtan(x)r),(e^x-e^-x) l(e^x+e^-xr)^2

Resposta

f'(x) =l(2x-tan(x)-x,sec^2(x)r),(e^x+e^-x) -l(1+x^2-xtan(x)r),(e^x-e^-x) l(e^x+e^-xr)^2

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