Resolva as equações diferenciais homogêneas a seguir:
\left(y-x \cot \frac{x}{y}\right) d y+y \cot \frac{x}{y} d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y - x\cot\frac{x}{y}\bigr)\,dy + y\cot\frac{x}{y}\,dx = 0
Esse é um caso de equação homogênea, pois as funções
M(x,y)=y\cot\frac{x}{y} e N(x,y)=y - x\cot\frac{x}{y}
são homogêneas de grau 1 (isto é, M(tx,ty)=t\,M(x,y) e N(tx,ty)=t\,N(x,y)).
Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,x,\quad dy = v\,dx + x\,dv.

Passo 2

Substituindo y=v\,x e dy=v\,dx + x\,dv em
y\cot\frac{x}{y}\,dx + \bigl(y - x\cot\frac{x}{y}\bigr)\,dy = 0,
temos
(vx)\cot\frac{x}{vx}\,dx + \bigl(vx - x\cot\frac{1}{v}\bigr)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0,
onde usamos \frac{x}{y}=\frac1v.

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos em dx e dv, nota-se que
os termos em dx simplificam para x\,v^2\,dx e os de dv ficam
x^2\bigl(v - \cot\frac1v\bigr)\,dv. Assim a equação vira
x\,v^2\,dx + x^2\Bigl(v - \cot\frac1v\Bigr)dv = 0.
Dividindo por x^2 (assumindo x\neq0) e reorganizando, obtemos
v^2\,\frac{dx}{x} + \Bigl(v - \cot\frac1v\Bigr)dv = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{x} = -\frac{v - \cot\frac1v}{v^2}\,dv.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dx}{x} = -\int\Bigl(\frac{v}{v^2} - \frac{\cot\frac1v}{v^2}\Bigr)dv = -\int\frac{1}{v}\,dv + \int\frac{\cot\frac1v}{v^2}\,dv.
Calculamos separadamente:
-\int\frac{1}{v}\,dv = -\ln|v|,
e, fazendo t=1/v, dt=-dv/v^2,
\int\frac{\cot\frac1v}{v^2}\,dv = -\int\cot t\,dt = -\ln\bigl|\sin t\bigr| = -\ln\Bigl|\sin\frac{1}{v}\Bigr|.
Logo
\ln|x| = -\ln|v| - \ln\Bigl|\sin\frac{1}{v}\Bigr| + C = -\ln\Bigl|v\,\sin\frac1v\Bigr| + C.

Passo 5

Reescrevendo em forma exponencial,
\ln\bigl|x\,v\,\sin\frac1v\bigr| = C' \quad\Longrightarrow\quad x\,v\,\sin\frac1v = K.
Voltando a v=y/x e \tfrac1v=\tfrac{x}{y}, obtemos
x\cdot\frac{y}{x}\,\sin\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = K \;\Longrightarrow\; y\,\sin\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = K,
que é a solução implícita geral.

Resposta

A solução geral é
y\,\sin\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = C,
com C constante.

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